Seja um operador projeção. Mostre que:
a Se tem dimensão finita, existe uma base de V na qual ccIdk & 0 0 & 0.
b Um endomorfismo T in Hom(V) de um espaço vetorial arbitrário V comuta com um operador projeção pi se e somente se Im(pi) e ker(pi) são invariantes por T (um subespaço W subseteq V é invariante por T in Hom(V) se T(W) subseteq W).
c Sejam pi, tau dois operadores projeção, mostre que pi+tau é um operador projeção se e somente se pi circ tau=tau circ pi=0 Hom (V).
d No último caso, mostre que Im(pi+tau)=Im(pi) oplus Im(tau) e ker(pi+tau)=ker(pi) cap ker(tau).
Passo 1
O enunciado pede para mostrar várias propriedades de operadores projeção em espaços vetoriais em um nível de álgebra linear avançada, envolvendo construções de bases adaptadas, invariância de subespaços e condições de comutatividade e soma de projeções.
Passo 2
Para (a), lembramos que um operador projeção π satisfaz π^2 = π, e que V se decompõe como V = Im(π)⊕Ker(π). Sejam k=dim Im(π). Escolhemos uma base {v₁,…,v_k} de Im(π) e a estendemos a uma base de V adicionando vetores {v_{k+1},…,v_n} de Ker(π). Então π(v_i)=v_i para i≤k e π(v_j)=0 para j>k. Na base B={v₁,…,v_n} a matriz de π é bloco-diagonal com Id_k e zero, ou seja,
[π]B^B = Idk & 0 0 & 0
Passo 3
Para (b), dizemos que T comuta com π se Tπ=πT. Se Tπ=πT então, para qualquer w∈Im(π) há v com w=π(v) e T(w)=Tπ(v)=πT(v)∈Im(π), logo Im(π) é invariante. De modo análogo, para x∈Ker(π) temos πx=0 e πT(x)=Tπ(x)=0, logo T(x)∈Ker(π).
Reciprocamente, se Im(π) e Ker(π) são invariantes por T então, em qualquer v∈V, v pode ser escrito como soma v=u+w com u∈Im(π) e w∈Ker(π). Aí πT(v)=π(T(u)+T(w))=T(u)+0=T(u)=T(π(u)+π(w))=Tπ(v), provando Tπ=πT.
Para (d), quando πτ=τπ=0 temos Im(π+τ)=Im(π)⊕Im(τ) porque qualquer (π+τ)(v)=π(v)+τ(v) é soma de algo em Im(π) e algo em Im(τ), e a interseção é trivial já que se π(v)=−τ(v) então aplicando π dá πτ(v)=0 e π²(v)=π(v) leva π(v)=0 e τ(v)=0. Quanto ao núcleo, x∈Ker(π+τ) ⇔ π(x)+τ(x)=0. Aplicando π e τ separadamente mostra-se π(x)=τ(x)=0, ou seja x∈Ker(π)∩Ker(τ).
Resposta
a) Em uma base adaptada Im(π)⊕Ker(π) a matriz de π é Idk&00&0.
b) T comuta com π ⇔ Im(π) e Ker(π) são invariantes por T.
c) π+τ é projeção ⇔ πτ=τπ=0.
d) Nesse caso Im(π+τ)=Im(π)⊕Im(τ) e Ker(π+τ)=Ker(π)∩Ker(τ).