(VALOR 0,7 ) Verifique se a reta r:\left\{\begin{array}{c}x=t-1 \\\ y=1+2 t \\\ z=3-t\end{array}\right. e o plano \propto: 3 x-y+2 z-5=0 \mathrm{~s}
são paralelos ou concorrentes. Em caso de concorrentes determine a interseção.
Passo 1
O enunciado apresenta a reta
r:\begin{cases} x = t - 1,\\\ y = 1 + 2t,\\\ z = 3 - t \end{cases}
e o plano
\pi: 3x - y + 2z - 5 = 0.
Queremos verificar se são paralelos (isto é, se não se interceptam) ou concorrentes (se têm um ponto em comum) e, em caso de interseção, determinar esse ponto. Para isso, vamos usar o vetor diretor da reta, o vetor normal do plano, o produto escalar para testar paralelismo e depois substituir as coordenadas paramétricas na equação do plano.
Passo 2
Extraímos o vetor diretor \mathbf{v} de r e o vetor normal \mathbf{n} de \pi:
Como \mathbf{v}\cdot\mathbf{n} = -1 \neq 0, o vetor diretor da reta não é ortogonal ao vetor normal do plano. Logo, a reta não é paralela ao plano e eles se intersectam num único ponto.
Passo 5
Para achar o parâmetro t da interseção, substituímos