(VALOR 0,7) Determine a equação do plano que contenha o ponto \mathrm{A}(1,2,3) e a reta r:\left\{\begin{array}{l}x=t+1 \\\ y=2-t \\\ z=4-3 t\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano que contenha o ponto A(1,2,3)\) e a reta \[r:\begin{cases} x = t+1,\\\ y = 2 - t,\\\ z = 4 - 3t. \end{cases}
Para isso precisamos de um vetor normal ao plano, que seja ortogonal ao vetor diretor de r\] e a um vetor que ligue \(A a um ponto qualquer de r.

Passo 2

Escolhemos o ponto de r quando t=0, digamos P_0=(1,2,4). O vetor diretor de r é
\mathbf{v} = (1,\,-1,\,-3)
e o vetor que liga A a P_0 é
\overrightarrow{AP_0} = P_0 - A = (1-1,\;2-2,\;4-3) = (0,\,0,\,1).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado pelo produto vetorial
\mathbf{n} \;=\;\mathbf{v}\times\overrightarrow{AP_0} \;=\;(1,\,-1,\,-3)\times(0,\,0,\,1) \;=\;(-1,\,-1,\,0).
Podemos escalar \mathbf{n} por -1 e usar
\mathbf{n} = (1,\,1,\,0).

Passo 4

A equação do plano, na forma \mathbf{n}\cdot (X - A)=0, fica
(1,\,1,\,0)\cdot\bigl((x,y,z)-(1,2,3)\bigr)=0
\Longrightarrow\;(x-1)+(y-2)+0\,(z-3)=0
\Longrightarrow\;x+y-3=0.

Resposta

A equação do plano é
x + y - 3 = 0.

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