Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad u^{\prime}-2 u=0, \quad u(1)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
u'(t)-2u(t)=0,\qquad u(1)=1.
O que é pedido:
  • Determinar P(t) quando a equação é escrita na forma padrão u'(t)+P(t)u(t)=Q(t).
  • Usar \exp[P(t)] (a ideia é usar o fator integrante \exp\!\big(\int P(t)\,dt\big)) para encontrar a única solução do PVI.
Informações fornecidas:
  • A equação diferencial: u'(t)-2u(t)=0.
  • Condição inicial: u(1)=1.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão u'(t)+P(t)u(t)=Q(t). A equação dada é
u'(t)-2u(t)=0.
Reescrevendo como soma:
u'(t)+\bigl(-2\bigr)u(t)=0.
Assim, o coeficiente P(t) é a função que multiplica u(t) na forma padrão, ou seja
P(t)=-2.
Explicação didática curta: na forma padrão u'+P(t)u=Q(t), a função P(t) é apenas o coeficiente multiplicando u. Aqui não depende de t; é constante igual a -2.

Passo 3

Apresentar o fator integrante e calcular \exp\!\big(\int P(t)\,dt\big).
Definição e ideia: para uma equação linear de primeira ordem u'+P(t)u=Q(t), o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\Big(\int P(t)\,dt\Big).
Multiplicar a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo numa derivada total (\mu(t)u(t))', o que facilita a integração.
Calculemos \mu(t) usando P(t)=-2:
\int P(t)\,dt=\int (-2)\,dt=-2t + C.
Como constantes multiplicativas em \mu podem ser desprezadas (elas só mudam a constante de integração depois), escolhemos C=0 e obtemos
\mu(t)=\exp\!\big(-2t\big)=e^{-2t}.

Passo 4

Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reescrever como derivada:
Multiplicando por e^{-2t},
e^{-2t}u'(t)-2e^{-2t}u(t)=0.
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto e^{-2t}u(t). Para ver isso, calcule a derivada:
\bigl(e^{-2t}u(t)\bigr)'=e^{-2t}u'(t)+\bigl(e^{-2t}\bigr)'u(t)=e^{-2t}u'(t)-2e^{-2t}u(t).
Portanto a equação fica
\bigl(e^{-2t}u(t)\bigr)'=0.
Explicação didática curta: a escolha do fator integrante garante essa forma porque \mu'=\mu P, logo (\mu u)'=\mu u'+\mu' u=\mu(u'+Pu).

Passo 5

Integrar a relação obtida e resolver para u(t).
Integrando (e^{-2t}u(t))'=0 em t
e^{-2t}u(t)=C,
onde C é constante de integração. Isolando u(t),
u(t)=C e^{2t}.

Passo 6

Usar a condição inicial u(1)=1 para determinar C.
Substituindo t=1 em u(t)=C e^{2t}, obtemos
u(1)=C e^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad C=e^{-2}.
Logo
u(t)=e^{-2}e^{2t}=e^{2t-2}=e^{2(t-1)}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional mas útil): calcular u'(t) e checar a equação.
u'(t)=2e^{2(t-1)}.
Então
u'(t)-2u(t)=2e^{2(t-1)}-2e^{2(t-1)}=0,
e u(1)=e^{0}=1. Tudo confere.

Resposta

P(t)=-2
u(t)=e^{2(t-1)}

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