Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial (PVI)
O que é pedido:
- Determinar
quando a equação é escrita na forma padrão . - Usar
(a ideia é usar o fator integrante ) para encontrar a única solução do PVI.
Informações fornecidas:
- A equação diferencial:
. - Condição inicial:
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão
. A equação dada é
Reescrevendo como soma:
Assim, o coeficiente
é a função que multiplica
na forma padrão, ou seja
Explicação didática curta: na forma padrão
, a função
é apenas o coeficiente multiplicando
. Aqui não depende de
; é constante igual a
.
Passo 3
Apresentar o fator integrante e calcular
.
Definição e ideia: para uma equação linear de primeira ordem
, o fator integrante é
Multiplicar a equação por
transforma o lado esquerdo numa derivada total
, o que facilita a integração.
Calculemos
usando
:
Como constantes multiplicativas em
podem ser desprezadas (elas só mudam a constante de integração depois), escolhemos
e obtemos
Passo 4
Multiplicar a equação original pelo fator integrante e reescrever como derivada:
Multiplicando por
,
Observe que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
. Para ver isso, calcule a derivada:
Portanto a equação fica
Explicação didática curta: a escolha do fator integrante garante essa forma porque
, logo
.
Passo 5
Integrar a relação obtida e resolver para
.
Integrando
em
dá
onde
é constante de integração. Isolando
,
Passo 6
Usar a condição inicial
para determinar
.
Substituindo
em
, obtemos
Logo
Passo 7
Verificação rápida (opcional mas útil): calcular
e checar a equação.
Então
e
. Tudo confere.