Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad u^{\prime}=(\operatorname{sen} t) u, \quad u(\varphi)=1

Passo 1

O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
u'(t) = (\sin t)\,u(t),\qquad u(\varphi)=1,
e pede duas coisas:
  • determinar P(t) (para usar \exp[P(t)]);
  • usando \exp[P(t)], encontrar a única solução do PVI acima.
Informações relevantes dadas:
  • a equação diferencial é de primeira ordem e homogênea;
  • a condição inicial é u(\varphi)=1 (aqui \varphi é um parâmetro fixo).

Passo 2

Vamos lembrar uma ideia muito útil e simples (passo-a-passo, sem pular): para uma equação da forma
u'(t)=p(t)\,u(t),
podemos separar variáveis porque u aparece multiplicando seu derivado. Separando:
\frac{u'(t)}{u(t)}=p(t).
Agora integramos ambos os lados em relação a t. A integral da esquerda é a derivada logarítmica:
\int \frac{u'(t)}{u(t)}\,dt=\int p(t)\,dt.
A integração dá
\ln|u(t)|=\int p(t)\,dt + C,
onde C é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral da solução:
u(t)=C_1\,\exp\!\Big(\int p(t)\,dt\Big),
onde C_1=\pm e^{C} é uma constante multiplicativa real não nula (o sinal e a magnitude são absorvidos em C_1).
Essa é a razão pela qual definimos frequentemente P(t)=\displaystyle\int p(t)\,dt e usamos \exp[P(t)] como fator-chave na solução.

Passo 3

No nosso caso p(t)=\sin t. Logo calculamos P(t) como uma primitiva de \sin t:
P(t)=\int \sin t\,dt = -\cos t + C_0.
Como qualquer constante aditiva em P(t) apenas multiplica a solução por uma constante (absorvida em C_1), é comum escolher a primitiva sem a constante e tomar
P(t) = -\cos t.

Passo 4

Usando P(t)=-\cos t e a forma geral da solução do passo anterior, a solução geral é
u(t)=C\,\exp\big(P(t)\big)=C\,\exp\big(-\cos t\big),
onde C é constante real a determinar pela condição inicial.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial u(\varphi)=1. Substituindo t=\varphi na solução geral:
1 = u(\varphi)=C\,\exp\big(-\cos\varphi\big).
Isolando C:
C=\exp\big(\cos\varphi\big).
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
u(t)=\exp\big(\cos\varphi\big)\,\exp\big(-\cos t\big)=\exp\big(\cos\varphi-\cos t\big).

Passo 6

Verificação rápida (opcional e útil para prova): diferenciar
u(t)=e^{\cos\varphi-\cos t}
u'(t)=e^{\cos\varphi-\cos t}\cdot(\sin t)=\sin t\;u(t),
logo a equação é satisfeita; e por construção u(\varphi)=e^{\cos\varphi-\cos\varphi}=1. A solução é única porque a função do lado direito (t,u)\mapsto \sin t\cdot u é Lipschitz em u em qualquer intervalo finito, garantindo existência e unicidade.

Resposta

P(t)=-\cos t
u(t)=\exp\big(\cos\varphi-\cos t\big)

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