Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado dá o problema de valor inicial (PVI)
e pede duas coisas:
- determinar
(para usar ); - usando
, encontrar a única solução do PVI acima.
Informações relevantes dadas:
- a equação diferencial é de primeira ordem e homogênea;
- a condição inicial é
(aqui é um parâmetro fixo).
Passo 2
Vamos lembrar uma ideia muito útil e simples (passo-a-passo, sem pular): para uma equação da forma
podemos separar variáveis porque
aparece multiplicando seu derivado. Separando:
Agora integramos ambos os lados em relação a
. A integral da esquerda é a derivada logarítmica:
A integração dá
onde
é constante de integração. Exponenciando ambos os lados obtemos a forma geral da solução:
onde
é uma constante multiplicativa real não nula (o sinal e a magnitude são absorvidos em
).
Essa é a razão pela qual definimos frequentemente
e usamos
como fator-chave na solução.
Passo 3
No nosso caso
. Logo calculamos
como uma primitiva de
:
Como qualquer constante aditiva em
apenas multiplica a solução por uma constante (absorvida em
), é comum escolher a primitiva sem a constante e tomar
Passo 4
Usando
e a forma geral da solução do passo anterior, a solução geral é
onde
é constante real a determinar pela condição inicial.
Passo 5
Aplicamos a condição inicial
. Substituindo
na solução geral:
Isolando
:
Portanto a solução particular que satisfaz o PVI é
Passo 6
Verificação rápida (opcional e útil para prova): diferenciar
dá
logo a equação é satisfeita; e por construção
. A solução é única porque a função do lado direito
é Lipschitz em
em qualquer intervalo finito, garantindo existência e unicidade.