Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
t u^{\prime}=u, \quad u(1)=-1

Passo 1

O enunciado fornece o problema inicial
t\,u'(t)=u(t),\qquad u(1)=-1.
Pede-se: determinar P(t) (a primitiva do coeficiente que aparece na forma linear) e, usando \exp[P(t)] (o fator integrante), encontrar a única solução do PVI. As informações relevantes: equação diferencial de primeira ordem linear (com singularidade em t=0) e condição inicial em t=1>0. A solução será buscada no intervalo que contém t=1 e onde a equação faz sentido (ou seja, em t>0).

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão u'+p(t)u=g(t). Dividindo por t (válido para t\neq0) obtemos
u'(t)-\frac{1}{t}\,u(t)=0.
Aqui o coeficiente p(t) é
p(t)=-\frac{1}{t}.
Agora calculamos P(t)=\displaystyle\int p(t)\,dt. Fazer a integral:
P(t)=\int -\frac{1}{t}\,dt=-\ln|t|+C.
Ao construir o fator integrante apenas uma constante aditiva em P corresponde a multiplicar o fator por uma constante, o que não altera a solução geral; por simplicidade escolhemos a primitiva sem constante aditiva:
P(t)=-\ln|t|.

Passo 3

Calcular o fator integrante \exp[P(t)]:
\exp[P(t)]=\exp\big(-\ln|t|\big)=|t|^{-1}.
Como a condição inicial está em t=1>0, trabalhamos no intervalo t>0 e então |t|=t. Assim, para t>0,
\exp[P(t)]=\frac{1}{t}.
Explicando a ideia do fator integrante: multiplicando a equação na forma u'+p(t)u=0 por \exp[P(t)] obtemos
\exp[P(t)]\,u'+\exp[P(t)]\,p(t)\,u=\frac{d}{dt}\big(\exp[P(t)]\,u\big)=0.

Passo 4

Integrar a expressão obtida:
\frac{d}{dt}\big(\exp[P(t)]\,u(t)\big)=0 \quad\Longrightarrow\quad \exp[P(t)]\,u(t)=C,
onde C é constante arbitrária. Substituindo \exp[P(t)]=1/t (para t>0):
\frac{1}{t}\,u(t)=C \quad\Longrightarrow\quad u(t)=C\,t,\qquad t>0.

Passo 5

Aplicar a condição inicial u(1)=-1:
u(1)=C\cdot 1=-1 \quad\Rightarrow\quad C=-1.
Portanto, a solução determinada pela condição inicial, no intervalo t>0, é u(t)=-t. Verificação rápida: u'(t)=-1, logo t\,u'(t)=t\cdot(-1)=-t=u(t), e u(1)=-1, está tudo consistente. A solução é única no intervalo t>0 por ser uma equação linear com coeficientes contínuos em t>0.

Resposta

P(t)=-\ln|t|,\\ \exp[P(t)]=\dfrac{1}{|t|}
u(t)=-t,\\ \text{para }t>0

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