Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado fornece o problema inicial
Pede-se: determinar
(a primitiva do coeficiente que aparece na forma linear) e, usando
(o fator integrante), encontrar a única solução do PVI. As informações relevantes: equação diferencial de primeira ordem linear (com singularidade em
) e condição inicial em
. A solução será buscada no intervalo que contém
e onde a equação faz sentido (ou seja, em
).
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
. Dividindo por
(válido para
) obtemos
Aqui o coeficiente
é
Agora calculamos
. Fazer a integral:
Ao construir o fator integrante apenas uma constante aditiva em
corresponde a multiplicar o fator por uma constante, o que não altera a solução geral; por simplicidade escolhemos a primitiva sem constante aditiva:
Passo 3
Calcular o fator integrante
:
Como a condição inicial está em
, trabalhamos no intervalo
e então
. Assim, para
,
Explicando a ideia do fator integrante: multiplicando a equação na forma
por
obtemos
Passo 4
Integrar a expressão obtida:
onde
é constante arbitrária. Substituindo
(para
):
Passo 5
Aplicar a condição inicial
:
Portanto, a solução determinada pela condição inicial, no intervalo
, é
. Verificação rápida:
, logo
, e
, está tudo consistente. A solução é única no intervalo
por ser uma equação linear com coeficientes contínuos em
.