Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial (PVI):
onde
é um número dado.
O que se pede:
O que se pede:
- Determinar
; - Usar
(a fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear usual
. Reescrevendo:
Assim
. O próximo passo é calcular
Calculemos a integral:
, onde
é uma constante de integração. Para a fator integrante só interessa uma primitiva qualquer de
; podemos escolher a primitiva sem constante e tomar
(Explicação rápida: adicionar uma constante a
só multiplica a fator integrante por uma constante não nula, o que não altera a solução geral.)
Passo 3
Definir a fator integrante
. Com
temos
Explicação do porquê: a fator integrante é escolhida para que, ao multiplicar a equação, a parte esquerda vire a derivada do produto
. Para ver isso, note que
porque
.
Passo 4
Multiplicamos a equação original por
:
Pelo item anterior
, logo a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto:
Portanto obtemos
Passo 5
Integrando em
a igualdade anterior:
onde
é constante arbitrária. Isolando
:
Aqui
é a constante geral da solução. Explicando as variáveis:
é a fator integrante,
é a constante que aparece da integração e
é a função desconhecida que estamos resolvendo.
Passo 6
Aplicar a condição inicial
. Substituindo
em
dá
Portanto
. Assim a solução com a condição inicial é
Passo 7
Breve comentário pedagógico (reforço): este mesmo resultado pode ser obtido mais direto pelo método das variáveis separáveis. Escreve-se
e integra-se
, obtendo
const e daí
, que com
resulta em
. As duas vias são equivalentes; aqui foi usada a via da fator integrante porque o enunciado pediu
.