Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad u^{\prime}=2 t u, \quad u(0)=C

Passo 1

O enunciado dá a seguinte equação diferencial com condição inicial (PVI):
u' = 2 t\, u,\qquad u(0)=C,
onde C é um número dado.
O que se pede:
  • Determinar P(t);
  • Usar \exp[P(t)] (a fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear usual u'+p(t)\,u=q(t). Reescrevendo:
u' - 2t\,u = 0.
Assim p(t) = -2t. O próximo passo é calcular
P(t)=\int p(t)\,dt=\int (-2t)\,dt.
Calculemos a integral: \int (-2t)\,dt = -t^2 + K_0, onde K_0 é uma constante de integração. Para a fator integrante só interessa uma primitiva qualquer de p(t); podemos escolher a primitiva sem constante e tomar
P(t) = -t^2.
(Explicação rápida: adicionar uma constante a P só multiplica a fator integrante por uma constante não nula, o que não altera a solução geral.)

Passo 3

Definir a fator integrante \mu(t)=\exp[P(t)]. Com P(t)=-t^2 temos
\mu(t)=\exp[-t^2]=e^{-t^2}.
Explicação do porquê: a fator integrante é escolhida para que, ao multiplicar a equação, a parte esquerda vire a derivada do produto \mu(t)u(t). Para ver isso, note que
\mu'(t)=P'(t)e^{P(t)}=p(t)\mu(t),
porque P'(t)=p(t).

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(t):
\mu(t)u'(t)-2t\mu(t)u(t)=0.
Pelo item anterior \mu'(t)=p(t)\mu(t)=-2t\mu(t), logo a expressão da esquerda é exatamente a derivada do produto:
(\mu(t)u(t))'= \mu(t)u'(t)+\mu'(t)u(t)=\mu(t)u'(t)-2t\mu(t)u(t).
Portanto obtemos
(\mu(t)u(t))' = 0.

Passo 5

Integrando em t a igualdade anterior:
\mu(t)u(t) = K,
onde K é constante arbitrária. Isolando u:
u(t)=\frac{K}{\mu(t)} = K e^{t^2}.
Aqui K é a constante geral da solução. Explicando as variáveis: \mu(t)=e^{-t^2} é a fator integrante, K é a constante que aparece da integração e u(t) é a função desconhecida que estamos resolvendo.

Passo 6

Aplicar a condição inicial u(0)=C. Substituindo t=0 em u(t)=K e^{t^2}
u(0)=K e^{0}=K=C.
Portanto K=C. Assim a solução com a condição inicial é
u(t)=C e^{t^2}.

Passo 7

Breve comentário pedagógico (reforço): este mesmo resultado pode ser obtido mais direto pelo método das variáveis separáveis. Escreve-se \dfrac{u'}{u}=2t e integra-se \int \dfrac{u'}{u}\,dt=\int 2t\,dt, obtendo \ln|u|=t^2+const e daí u=K e^{t^2}, que com u(0)=C resulta em u(t)=C e^{t^2}. As duas vias são equivalentes; aqui foi usada a via da fator integrante porque o enunciado pediu \exp[P(t)].

Resposta

u(t)=C\,e^{t^{2}}

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