Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
- Equação:
. - Condição inicial:
.
O que pede:
- Determinar
. - Usando
(o fator integrante), encontrar a única solução do problema de valor inicial.
Passo 2
Primeiro passo algébrico: transformar a forma diferencial em uma equação para
.
Dividindo ambos os lados por (assumindo
) obtemos
Dividindo ambos os lados por
Isolando
,
Agora escrevemos isto na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
Comparando com
obtemos
Logo, o coeficiente
é
Passo 3
Relembrando o método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem
o fator integrante é
A utilidade: multiplicando a equação por
transforma o lado esquerdo em uma derivada exata:
o que facilita integrar e resolver para
.
Passo 4
Calcular o fator integrante usando
:
Observação sobre o valor absoluto:
. Como a condição inicial usa
, podemos trabalhar no intervalo onde
e então tomar
Passo 5
Multiplicando a equação
por
(válido para
) obtemos
O lado esquerdo é a derivada de
, pois
Portanto
Integrando em
vem
onde
é constante arbitrária. Assim a solução geral (no intervalo
) é
Passo 6
Aplicar a condição inicial
:
Logo a solução única que satisfaz a condição inicial (no intervalo contendo
, por exemplo
) é
Como checagem rápida: podemos separar as variáveis na equação
:
mesmo resultado (com
).