Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad u d t-t d u=0, \quad u(1)=-3

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial com condição inicial:
  • Equação: u\,dt - t\,du = 0.
  • Condição inicial: u(1) = -3.
O que pede:
  1. Determinar P(t).
  2. Usando \exp\!\big[\!\int P(t)\,dt\big] (o fator integrante), encontrar a única solução do problema de valor inicial.

Passo 2

Primeiro passo algébrico: transformar a forma diferencial em uma equação para \dfrac{du}{dt}.
Dividindo ambos os lados por dt (assumindo dt\neq0) obtemos
u - t\frac{du}{dt} = 0.
Isolando \dfrac{du}{dt},
\frac{du}{dt} = \frac{u}{t}.
Agora escrevemos isto na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dt} + P(t)\,u = Q(t).
Comparando com \dfrac{du}{dt} = \dfrac{u}{t} obtemos
\frac{du}{dt} - \frac{1}{t}u = 0.
Logo, o coeficiente P(t) é
P(t) = -\frac{1}{t}.

Passo 3

Relembrando o método (mini-aula): para uma equação linear de primeira ordem
\frac{du}{dt} + P(t)u = Q(t),
o fator integrante é
\mu(t)=\exp\!\left(\int P(t)\,dt\right).
A utilidade: multiplicando a equação por \mu(t) transforma o lado esquerdo em uma derivada exata:
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)Q(t),
o que facilita integrar e resolver para u.

Passo 4

Calcular o fator integrante usando P(t)=-\dfrac{1}{t}:
\mu(t)=\exp\!\left(\int -\frac{1}{t}\,dt\right) =\exp\big(-\ln|t|\big)=|t|^{-1}.
Observação sobre o valor absoluto: |t|^{-1}=1/|t|. Como a condição inicial usa t=1>0, podemos trabalhar no intervalo onde t>0 e então tomar
\mu(t)=\frac{1}{t}\qquad (t>0).

Passo 5

Multiplicando a equação \dfrac{du}{dt}-\dfrac{1}{t}u=0 por \mu(t)=1/t (válido para t>0) obtemos
\frac{1}{t}\frac{du}{dt}-\frac{1}{t^2}u=0.
O lado esquerdo é a derivada de \dfrac{u}{t}, pois
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{t}\right) =\frac{1}{t}\frac{du}{dt}-\frac{1}{t^2}u.
Portanto
\frac{d}{dt}\!\left(\frac{u}{t}\right)=0.
Integrando em t vem
\frac{u(t)}{t}=C,
onde C é constante arbitrária. Assim a solução geral (no intervalo t>0) é
u(t)=C\,t.

Passo 6

Aplicar a condição inicial u(1)=-3:
u(1)=C\cdot 1 = C = -3.
Logo a solução única que satisfaz a condição inicial (no intervalo contendo t=1, por exemplo t>0) é
u(t) = -3\,t.
Como checagem rápida: podemos separar as variáveis na equação \dfrac{du}{dt}=\dfrac{u}{t}:
\frac{du}{u}=\frac{dt}{t}\Rightarrow \ln|u|=\ln|t|+C'\Rightarrow u=K t,
mesmo resultado (com K=C).

Resposta

P(t)=-\dfrac{1}{t}
u(t)=-3t

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