Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
-d t+t d u=0, \quad u(1)=\frac{1}{2}, \quad t>0

Passo 1

Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, com os dados todos bem claros.
  • Equação diferencial dada (na forma diferencial): -d t + t\, d u = 0.
  • Condição inicial: u(1)=\tfrac{1}{2}.
  • Domínio indicado: t>0.
  • O enunciado pede: (i) determinar P(t) (o coeficiente de u quando a equação for posta na forma padrão de uma EDO linear); (ii) usando \exp[P(t)] (isto é, o fator integrante \exp\!\big[\int P(t)\,dt\big]), encontrar a única solução do PVI.

Passo 2

Colocar a equação na forma usual \dfrac{du}{dt}+P(t)\,u=Q(t).
  • Divido a equação diferencial por dt (fazendo a leitura usual): -1 + t\,\dfrac{du}{dt}=0.
  • Isolo a derivada: t\,\dfrac{du}{dt}=1.
  • Logo
\dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{t}.
  • Escrevo isso na forma padrão \dfrac{du}{dt}+P(t)\,u=Q(t). Comparando, fica
P(t)=0,\qquad Q(t)=\dfrac{1}{t}.
Explicação curta: P(t) é a função que multiplica u na forma padrão; aqui não há termo com u, por isso P(t)=0.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t)=\exp\!\big[\int P(t)\,dt\big] (isto é o que o enunciado chama de \exp[P(t)]).
  • Como P(t)=0,
\int P(t)\,dt=\int 0\,dt= \text{const}.
  • Podemos escolher a constante igual a zero (o fator integrante é determinado até uma multiplicação por constante; escolher a constante zero dá o fator integrante mais simples). Assim
\mu(t)=\exp\!\big[\int P(t)\,dt\big]=\exp[0]=1.
Observação didática: o fator integrante transforma a equação em uma forma cuja mão esquerda é a derivada de \mu(t)u(t). Aqui \mu(t)=1 simplifica tudo.

Passo 4

Usar o fator integrante para integrar a equação e aplicar a condição inicial.
  • Multiplicando a equação \dfrac{du}{dt}=\dfrac{1}{t} por \mu(t)=1 não altera nada; escrito em termos do fator integrante:
\frac{d}{dt}\big(\mu(t)u(t)\big)=\mu(t)\,Q(t)\quad\Longrightarrow\quad \frac{d}{dt}\big(u(t)\big)=\frac{1}{t}.
  • Integro ambos os lados em t (lembrando que t>0, então \ln t está bem definido):
u(t)=\int \frac{1}{t}\,dt = \ln t + C,
onde C é constante de integração.
  • Uso a condição inicial u(1)=\tfrac{1}{2}:
\tfrac{1}{2} = u(1)=\ln 1 + C = 0 + C \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{2}.
  • Portanto a solução do PVI é
u(t)=\ln t + \tfrac{1}{2},\qquad t>0.

Passo 5

Comentário sobre unicidade (curto e útil para prova): P(t)=0 e Q(t)=1/t são contínuas em (0,\infty). Para uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes contínuos numa vizinhança do ponto inicial t=1, existe e é única a solução do PVI; portanto a solução encontrada é a única.

Resposta

P(t)=0
u(t)=\ln t + \tfrac{1}{2},\quad t>0

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