Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
Vou listar o que o enunciado dá e o que pede, com os dados todos bem claros.
- Equação diferencial dada (na forma diferencial):
- Condição inicial:
- Domínio indicado:
- O enunciado pede: (i) determinar
(o coeficiente de quando a equação for posta na forma padrão de uma EDO linear); (ii) usando (isto é, o fator integrante ), encontrar a única solução do PVI.
Passo 2
Colocar a equação na forma usual
.
- Divido a equação diferencial por
(fazendo a leitura usual): - Isolo a derivada:
- Logo
- Escrevo isso na forma padrão
. Comparando, fica
Explicação curta:
é a função que multiplica
na forma padrão; aqui não há termo com
, por isso
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
(isto é o que o enunciado chama de
).
- Como
,
- Podemos escolher a constante igual a zero (o fator integrante é determinado até uma multiplicação por constante; escolher a constante zero dá o fator integrante mais simples). Assim
Observação didática: o fator integrante transforma a equação em uma forma cuja mão esquerda é a derivada de
. Aqui
simplifica tudo.
Passo 4
Usar o fator integrante para integrar a equação e aplicar a condição inicial.
- Multiplicando a equação
por não altera nada; escrito em termos do fator integrante:
- Integro ambos os lados em
(lembrando que , então está bem definido):
onde
é constante de integração.
- Uso a condição inicial
:
- Portanto a solução do PVI é
Passo 5
Comentário sobre unicidade (curto e útil para prova):
e
são contínuas em
. Para uma EDO linear de primeira ordem com coeficientes contínuos numa vizinhança do ponto inicial
, existe e é única a solução do PVI; portanto a solução encontrada é a única.