Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado pede para determinar
e, usando
como fator integrante, encontrar a única solução do problema de valor inicial (PVI)
Informações dadas:
- A equação diferencial está escrita na forma de 1-forma
com e . - Condição inicial:
. - Domínio considerado:
.
O que é pedido:
- Achar
tal que seja um fator integrante que dependa só de . - Usar esse
para resolver a equação e aplicar a condição inicial para obter a solução única.
Passo 2
Explicando a ideia (didático): quando temos uma 1-forma
, um fator integrante que dependa só de
,
, existe quando
é função somente de
. Nesse caso vale
Aqui
e
. Então calcule as derivadas parciais:
Portanto
Isso depende só de
, ótimo — podemos achar
.
Passo 3
Agora obtemos
integrando:
Escolhendo a constante
(qualquer constante apenas multiplica
por um fator não nulo), temos
e então
Como o enunciado restringe
, podemos trabalhar convenientemente com
(é apenas um múltiplo constante de
com sinal fixo no domínio
), o que simplifica os sinais nas contas.
Passo 4
Multiplicando a equação original por
obtemos
Agora essa 1-forma é exata: existe uma função potencial
tal que
Integramos a segunda igualdade em
:
onde
é uma função a determinar. Diferenciando em
e igualando à primeira condição,
Integrando em
,
Logo
A relação implícita de solução é
constante, isto é
ou
Passo 5
Aplicando a condição inicial
. Como
e
, obtemos
Portanto, no domínio
,