Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad-d t+t d u=0, \quad u(-1)=\frac{1}{2}, \quad t<0

Passo 1

O enunciado pede para determinar P(t) e, usando \exp[P(t)] como fator integrante, encontrar a única solução do problema de valor inicial (PVI)
-\,dt + t\,du = 0,\qquad u(-1)=\tfrac{1}{2},\qquad t<0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial está escrita na forma de 1-forma M(t,u)\,dt + N(t,u)\,du=0 com M(t,u)=-1 e N(t,u)=t.
  • Condição inicial: u(-1)=\tfrac{1}{2}.
  • Domínio considerado: t<0.
O que é pedido:
  • Achar P(t) tal que \mu(t)=\exp[P(t)] seja um fator integrante que dependa só de t.
  • Usar esse \mu(t) para resolver a equação e aplicar a condição inicial para obter a solução única.

Passo 2

Explicando a ideia (didático): quando temos uma 1-forma M(t,u)\,dt+N(t,u)\,du=0, um fator integrante que dependa só de t, \mu(t), existe quando
\frac{\partial M/\partial u - \partial N/\partial t}{N}
é função somente de t. Nesse caso vale
\frac{d}{dt}\big(\ln \mu(t)\big)=\frac{\partial M/\partial u - \partial N/\partial t}{N}.
Aqui M=-1 e N=t. Então calcule as derivadas parciais:
\frac{\partial M}{\partial u}=0,\qquad \frac{\partial N}{\partial t}=1.
Portanto
\frac{\partial M/\partial u - \partial N/\partial t}{N}=\frac{0-1}{t}=-\frac{1}{t}.
Isso depende só de t, ótimo — podemos achar \mu.

Passo 3

Agora obtemos P(t) integrando:
\frac{d}{dt}\big(\ln \mu(t)\big)=-\frac{1}{t}\quad\Rightarrow\quad \ln \mu(t)=-\int\frac{1}{t}\,dt=-\ln|t|+C.
Escolhendo a constante C=0 (qualquer constante apenas multiplica \mu por um fator não nulo), temos
P(t)=-\ln|t|
e então
\mu(t)=\exp[P(t)]=\exp\big(-\ln|t|\big)=\frac{1}{|t|}.
Como o enunciado restringe t<0, podemos trabalhar convenientemente com \mu(t)=\dfrac{1}{t} (é apenas um múltiplo constante de 1/|t| com sinal fixo no domínio t<0), o que simplifica os sinais nas contas.

Passo 4

Multiplicando a equação original por \mu(t)=\dfrac{1}{t} obtemos
-\frac{1}{t}\,dt + \frac{t}{t}\,du = 0 \quad\Longrightarrow\quad -\frac{1}{t}\,dt + du = 0.
Agora essa 1-forma é exata: existe uma função potencial \Phi(t,u) tal que
\frac{\partial\Phi}{\partial t}=-\frac{1}{t},\qquad \frac{\partial\Phi}{\partial u}=1.
Integramos a segunda igualdade em u:
\Phi(t,u)=u + h(t),
onde h(t) é uma função a determinar. Diferenciando em t e igualando à primeira condição,
\frac{\partial\Phi}{\partial t}=h'(t)=-\frac{1}{t}.
Integrando em t,
h(t)=-\int\frac{1}{t}\,dt=-\ln|t| + C.
Logo
\Phi(t,u)=u - \ln|t| + C.
A relação implícita de solução é \Phi(t,u)= constante, isto é
u - \ln|t| = C_1,
ou
u(t)=\ln|t| + C_1.

Passo 5

Aplicando a condição inicial u(-1)=\tfrac{1}{2}. Como |-1|=1 e \ln 1=0, obtemos
\tfrac{1}{2} = \ln|{-1}| + C_1 = 0 + C_1 \quad\Rightarrow\quad C_1=\tfrac{1}{2}.
Portanto, no domínio t<0,
u(t)=\ln|t| + \tfrac{1}{2} = \ln(-t) + \tfrac{1}{2}.

Resposta

u(t)=\ln(-t)+\dfrac{1}{2}

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