Determine P(t), e usando \exp [P(t)], encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
\quad\left(2+t^{2}\right) u^{\prime}+2 t u=0, \quad u(0)=1

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
(2+t^{2})\,u'(t)+2t\,u(t)=0,\qquad u(0)=1.
O que nos pedem:
  • Determinar P(t) (ou seja, a primitiva de p(t) que aparece ao colocar a EDO na forma padrão).
  • Usar \exp[P(t)] (o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Informações dadas:
  • A equação diferencial linear é de primeira ordem com coeficiente multiplicador (2+t^{2}).
  • A condição inicial é u(0)=1.

Passo 2

Colocar a equação na forma linear padrão u'+p(t)u=q(t). Dividindo ambos os lados de
(2+t^{2})\,u'+2t\,u=0
por 2+t^{2} (que é sempre positivo, logo podemos dividir sem problema), obtemos
u'(t)+\frac{2t}{2+t^{2}}\,u(t)=0.
Aqui identificamos
p(t)=\frac{2t}{2+t^{2}},\qquad q(t)=0.

Passo 3

Calcular P(t)=\displaystyle\int p(t)\,dt=\int\frac{2t}{2+t^{2}}\,dt.
Observação didática: reparar que a derivada de 2+t^{2} é 2t. Isso é uma dica clássica para integrar frações do tipo \dfrac{f'(t)}{f(t)}, cuja integral é \ln|f(t)|.
Fazendo a substituição w=2+t^{2}, temos dw=2t\,dt. Assim
\int\frac{2t}{2+t^{2}}\,dt=\int\frac{1}{w}\,dw=\ln|w|+C=\ln(2+t^{2})+C.
Portanto podemos escolher
P(t)=\ln(2+t^{2})
(qualquer constante C adicionada a P só multiplica depois o fator integrante por uma constante, o que não altera a solução geral quando se resolve a EDO).

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t)=\exp[P(t)]. Usando P(t)=\ln(2+t^{2}),
\mu(t)=\exp\big(\ln(2+t^{2})\big)=2+t^{2}.
Observação: \mu(t)>0 para todo t, portanto é admissível dividir por \mu quando necessário.

Passo 5

Explicar a ideia do fator integrante: multiplicando a forma padrão u'+p(t)u=0 por \mu(t) obtemos
\mu(t)u'(t)+\mu(t)p(t)u(t)=0.
Mas por construção de \mu vale \mu'(t)=\mu(t)p(t), então a expressão à esquerda é precisamente a derivada do produto:
\big(\mu(t)u(t)\big)'=0.
Isso reduz a EDO a uma equação muito simples: a derivada de um produto é zero, logo o produto é constante.

Passo 6

Integrar \big(\mu(t)u(t)\big)'=0. Obtemos
\mu(t)u(t)=C,
onde C é constante. Como \mu(t)=2+t^{2}, temos a solução geral
u(t)=\frac{C}{2+t^{2}}.
Aplicar a condição inicial u(0)=1:
1=u(0)=\frac{C}{2+0^{2}}=\frac{C}{2}\quad\Rightarrow\quad C=2.
Portanto a solução do PVI é
u(t)=\frac{2}{2+t^{2}}.

Passo 7

Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular u'(t) para u(t)=2(2+t^{2})^{-1},
u'(t)=-2\cdot(2+t^{2})^{-2}\cdot 2t=-\frac{4t}{(2+t^{2})^{2}}.
Substituindo em (2+t^{2})u'+2tu
(2+t^{2})\left(-\frac{4t}{(2+t^{2})^{2}}\right)+2t\left(\frac{2}{2+t^{2}}\right) =-\frac{4t}{2+t^{2}}+\frac{4t}{2+t^{2}}=0,
confirma que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial.

Resposta

P(t)=\ln(2+t^{2})
u(t)=\dfrac{2}{2+t^{2}}

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