Determine
, e usando
, encontre a única solução de cada um dos seguintes PVI;
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
O que nos pedem:
- Determinar
(ou seja, a primitiva de que aparece ao colocar a EDO na forma padrão). - Usar
(o fator integrante) para encontrar a única solução do PVI.
Informações dadas:
- A equação diferencial linear é de primeira ordem com coeficiente multiplicador
. - A condição inicial é
.
Passo 2
Colocar a equação na forma linear padrão
. Dividindo ambos os lados de
por
(que é sempre positivo, logo podemos dividir sem problema), obtemos
Aqui identificamos
Passo 3
Calcular
.
Observação didática: reparar que a derivada de
é
. Isso é uma dica clássica para integrar frações do tipo
, cuja integral é
.
Fazendo a substituição
, temos
. Assim
Portanto podemos escolher
(qualquer constante
adicionada a
só multiplica depois o fator integrante por uma constante, o que não altera a solução geral quando se resolve a EDO).
Passo 4
Calcular o fator integrante
. Usando
,
Observação:
para todo
, portanto é admissível dividir por
quando necessário.
Passo 5
Explicar a ideia do fator integrante: multiplicando a forma padrão
por
obtemos
Mas por construção de
vale
, então a expressão à esquerda é precisamente a derivada do produto:
Isso reduz a EDO a uma equação muito simples: a derivada de um produto é zero, logo o produto é constante.
Passo 6
Integrar
. Obtemos
onde
é constante. Como
, temos a solução geral
Aplicar a condição inicial
:
Portanto a solução do PVI é
Passo 7
Verificação rápida (opcional, mas útil para confiança): calcular
para
,
Substituindo em
dá
confirma que a solução satisfaz a EDO e a condição inicial.