Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(x)=sin (x2), g(x)=cos ^2 x.

Passo 1

O enunciado pede para verificar se as funções
f(x)=sin!l(tfracx2r) e g(x)=cos^2(x)
são linearmente dependentes ou independentes no conjunto dos reais. Para isso, vamos usar o teste do Wronskiano, que é um critério prático para duas funções de classe C^1.

Passo 2

Duas funções f e g são linearmente independentes em um intervalo se a única combinação
a,f(x)+b,g(x)=0para todo x
ocorre quando a=b=0. O Wronskiano é definido por
W(f,g)(x) = f(x) & g(x) f'(x)& g'(x) = f(x),g'(x)-f'(x),g(x)
Se existir algum ponto onde W(f,g)(x)neq0, então f e g são linearmente independentes.

Passo 3

Calculamos as derivadas:
f'(x) =ddxsin!l(tfracx2r) =tfrac12cos!l(tfracx2r),
g'(x) =ddxl(cos^2(x)r) =2cos(x)l(-sin(x)r) =-sin(2x)

Passo 4

Formamos o Wronskiano:
W(f,g)(x) =sin!l(tfracx2r),l(-sin(2x)r) -l(tfrac12cos!l(tfracx2r)r)cos^2(x)

Passo 5

Basta avaliar em x=0:
W(f,g)(0) =sin(0),(-sin0)-tfrac12cos(0),cos^2(0) =0 - tfrac12cdot1cdot1 =-tfrac12neq0
Como o Wronskiano não se anula em x=0, concluímos que f e g são linearmente independentes.

Resposta

As funções f(x)=sinl(tfracx2r) e g(x)=cos^2(x) são linearmente independentes.

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