Determine se o par de funções dadas é linearmente independente ou linearmente dependente.
f(x)=3 x-5, g(x)=9 x-5

Passo 1

Temos duas funções de variável real,
f(x)=3x-5,
g(x)=9x-5
O objetivo é verificar se existem constantes a,b, não ambas nulas, tais que
a,f(x)+b,g(x)=0para todo xinR
Se a única solução for a=b=0, dizemos que f e g são linearmente independentes; caso contrário, são linearly dependentes.

Passo 2

Escrevemos a combinação linear igual a zero e agrupamos termos em x:
a,(3x-5)+b,(9x-5)=0 ;Longrightarrow; (3a+9b),x+(-5a-5b)=0
para todo x.

Passo 3

Como esse polinômio é identicamente nulo, seus coeficientes precisam ser zero:
3a+9b=0, -5a-5b=0
Da segunda equação vem a+b=0. Da primeira vem a+3b=0. Subtraindo (a+3b)-(a+b)=2b=0, obtemos b=0 e então a=0.

Resposta

O único par (a,b) que satisfaz a combinação linear nula é (0,0). Logo, as funções f e g são linearmente independentes.

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