Questão 1: (2 pontos) Determine os extremos de
e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 1
Resumo da questão: a gente quer encontrar os extremos (máximos, mínimos ou sela) da função
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente, pontos críticos e teste da Hessiana (segunda derivada).
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular as derivadas parciais
e . - Resolver o sistema
para achar o ponto crítico. - Montar a matriz Hessiana e usar seu determinante para classificar o ponto.
Passo 2
Calcular as derivadas parciais
Teoria rápida: pra achar extremos, a gente zera o gradiente .
Teoria rápida: pra achar extremos, a gente zera o gradiente
-
. -
.
Passo 3
Resolver o sistema [f_x=0) e
:
Da primeira: ou
.
Resolvendo por eliminação:
Resolvendo por eliminação:
- Multiplico
por 3: . - Multiplico
por 2: .
Subtraindo: → → .
Substituindo em :
→ → .
Então o ponto crítico é .
Passo 4
Montar a Hessiana e usar o teste de segunda ordem
Teoria rápida: Hessiana .
Teoria rápida: Hessiana .
-
. -
. -
.
Então
Como
, a gente conclui que esse ponto é um ponto de sela.
Resposta
A função tem um único ponto crítico em
l(tfrac1813,-tfrac1413r) , e ele é um ponto de sela.