Questão 1: (2 pontos) Determine os extremos de f(x, y)=x^2-3 x y-y^2+2 y-6 x e classifique-os em máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 1

Resumo da questão: a gente quer encontrar os extremos (máximos, mínimos ou sela) da função
f(x,y)=x^2-3xy-y^2+2y-6x,
Conteúdo: derivadas parciais, gradiente, pontos críticos e teste da Hessiana (segunda derivada).
O que vamos precisar:
  1. Calcular as derivadas parciais partial fpartial x e partial fpartial y.
  2. Resolver o sistema nabla f=0 para achar o ponto crítico.
  3. Montar a matriz Hessiana e usar seu determinante para classificar o ponto.

Passo 2

Calcular as derivadas parciais
Teoria rápida: pra achar extremos, a gente zera o gradiente nabla f=(fx,fy).
  • fx=partialpartial x(x^2-3xy-y^2+2y-6x)=2x-3y-6.
  • fy=partialpartial y(x^2-3xy-y^2+2y-6x)=-3x-2y+2.

Passo 3

Resolver o sistema [f_x=0) e :
Da primeira: ou .
Resolvendo por eliminação:
  • Multiplico por 3: .
  • Multiplico por 2: .
    Subtraindo: .
    Substituindo em :
    .
    Então o ponto crítico é .

Passo 4

Montar a Hessiana e usar o teste de segunda ordem
Teoria rápida: Hessiana .
  • .
  • .
  • .
    Então
Como , a gente conclui que esse ponto é um ponto de sela.

Resposta

A função tem um único ponto crítico em l(tfrac1813,-tfrac1413r), e ele é um ponto de sela.

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