Determine uma parametrização para as curvas abaixo:
\left\{\begin{array}{c}4 x^{2}+9 y^{2}+z^{2}=1 ; \\\ z=y\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o sistema
\begin{cases} 4x^{2}+9y^{2}+z^{2}=1,\\[4pt] z=y. \end{cases}
O que se pede: encontrar uma parametrização (uma descrição por uma função de uma variável t) da curva que é a interseção dessas duas superfícies. Listei as informações relevantes: a equação quadrática que relaciona x,y,z e a restrição linear z=y. A resolução começará a partir dessa informação.]

Passo 2

Primeiro passo prático: usar a restrição z=y para eliminar z da primeira equação. Substituo z por y na equação da superfície:
4x^{2}+9y^{2}+z^{2}=1 \quad\Rightarrow\quad 4x^{2}+9y^{2}+y^{2}=1.
Agora simplifico os termos em y^{2}:
4x^{2}+10y^{2}=1.

Passo 3

Reconheço que a equação obtida é a equação de uma elipse no plano z=y (quando vista em coordenadas x,y):
4x^{2}+10y^{2}=1.
Para pôr na forma canônica de elipse \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, divido ambos os lados por 1 (já está igual a 1) e reescrevo os coeficientes como denominadores:
\frac{x^{2}}{\frac{1}{4}}+\frac{y^{2}}{\frac{1}{10}}=1.
Assim os semi-eixos são
a=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2},\qquad b=\sqrt{\frac{1}{10}}=\frac{1}{\sqrt{10}}.

Passo 4

Método padrão para parametrizar uma elipse: usamos funções trigonométricas porque \cos^{2}t+\sin^{2}t=1. Se \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=1, uma parametrização conveniente é
x=a\cos t,\qquad y=b\sin t,
com t variando em um intervalo de comprimento 2\pi, por exemplo t\in[0,2\pi). Isso garante que \dfrac{x^{2}}{a^{2}}+\dfrac{y^{2}}{b^{2}}=\cos^{2}t+\sin^{2}t=1.

Passo 5

Aplicando essa fórmula com a=\dfrac{1}{2} e b=\dfrac{1}{\sqrt{10}}, obtemos
x(t)=\frac{1}{2}\cos t,\qquad y(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\sin t.
Como a condição do problema impõe z=y, tomamos
z(t)=y(t)=\frac{1}{\sqrt{10}}\sin t.

Passo 6

Verificação rápida (importante na prova): substituindo na equação original
4x(t)^{2}+9y(t)^{2}+z(t)^{2} =4\left(\frac{1}{2}\cos t\right)^{2}+9\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\sin t\right)^{2}+\left(\frac{1}{\sqrt{10}}\sin t\right)^{2}
=4\cdot\frac{1}{4}\cos^{2}t + 10\cdot\frac{1}{10}\sin^{2}t =\cos^{2}t+\sin^{2}t=1,
logo a parametrização satisfaz ambas as equações. O parâmetro t varia em [0,2\pi) para percorrer a curva inteira.

Resposta

\mathbf{r}(t)=\left(\dfrac{1}{2}\cos t,\;\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin t,\;\dfrac{1}{\sqrt{10}}\sin t\right),\quad t\in[0,2\pi)

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