Determine uma parametrização para as curvas abaixo:
Passo 1
O enunciado dá o sistema
O que se pede: encontrar uma parametrização (uma descrição por uma função de uma variável
) da curva que é a interseção dessas duas superfícies. Listei as informações relevantes: a equação quadrática que relaciona
e a restrição linear
. A resolução começará a partir dessa informação.]
Passo 2
Primeiro passo prático: usar a restrição
para eliminar
da primeira equação. Substituo
por
na equação da superfície:
Agora simplifico os termos em
:
Passo 3
Reconheço que a equação obtida é a equação de uma elipse no plano
(quando vista em coordenadas
):
Para pôr na forma canônica de elipse
, divido ambos os lados por
(já está igual a
) e reescrevo os coeficientes como denominadores:
Assim os semi-eixos são
Passo 4
Método padrão para parametrizar uma elipse: usamos funções trigonométricas porque
. Se
, uma parametrização conveniente é
com
variando em um intervalo de comprimento
, por exemplo
. Isso garante que
.
Passo 5
Aplicando essa fórmula com
e
, obtemos
Como a condição do problema impõe
, tomamos
Passo 6
Verificação rápida (importante na prova): substituindo na equação original
logo a parametrização satisfaz ambas as equações. O parâmetro
varia em
para percorrer a curva inteira.