Seja \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva derivável até a 2^{\mathrm{a}} ordem, com \left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| \neq 0 no intervalo I. Seja s=s(t) a função comprimento de arco a partir de um ponto fixo t_{0} \in I.
O enunciado nos dá uma curva \gamma:I\to\mathbb{R}^3 duas vezes diferenciável, com \left\|\gamma'(t)\right\|\neq 0 para todo t\in I. Define-se o versor tangente
e a reparametrização por comprimento de arco s=s(t) (a partir de um t_0), com a notação \vec{t}(s)=\vec{T}(t) onde t=t(s).
As perguntas pedem para mostrar, passo a passo, as seguintes igualdades:
(a) a expressão de \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t);
(b) a expressão de \dfrac{d\vec{t}}{ds}(s) em termos de \gamma',\gamma'' avaliadas em t;
(c) a norma de \dfrac{d\vec{t}}{ds}(s) e a sua forma final.
Lista das informações úteis dadas:
\gamma'(t) e \gamma''(t) existem e \left\|\gamma'(t)\right\|>0.
s=s(t) é comprimento de arco, portanto \dfrac{ds}{dt}=\left\|\gamma'(t)\right\| (usaremos isto no Passo 4).
Passo 2
Preparação: derivada do comprimento \left\|\gamma'(t)\right\|.
Queremos \dfrac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\|. Para evitar a raiz, primeiro derivamos o quadrado da norma e depois usamos a regra da cadeia. Lembrando que para vetores u(t) vale \dfrac{d}{dt}(u\cdot u)=2\,u\cdot u'.
Aqui estou usando que \gamma'(t)\cdot\gamma''(t) é o produto escalar entre os vetores \gamma'(t) e \gamma''(t), e que \left\|\gamma'(t)\right\| é o escalar positivo raiz do quadrado da norma.
Passo 3
Derivada de \vec{T}(t)=\dfrac{\gamma'(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|} em relação a t — demonstração de (a).
Uma forma prática é escrever \vec{T}(t)=\big(\left\|\gamma'(t)\right\|\big)^{-1}\gamma'(t) e usar a regra do produto (produto de um escalar e um vetor). Aplicando a regra do produto:
Observação didática: a ideia é equivalente a aplicar a regra do quociente para vetores, mas escrever como produto de um escalar inverso torna as contas mais claras.
Passo 4
Reparametrização pelo comprimento de arco e prova de (b).
Por definição de comprimento de arco s=s(t) tomado a partir de t_0,
\frac{ds}{dt}=\left\|\gamma'(t)\right\|.
Como \left\|\gamma'(t)\right\|>0, podemos inverter e obter
Queremos \left\|\dfrac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\|=\sqrt{\dfrac{d\vec{t}}{ds}\cdot\dfrac{d\vec{t}}{ds}}. Usando que dividir um vetor por um escalar positivo escala a norma, temos
Comentário curto e útil: a quantidade \left\|\gamma'(t)\right\|^{2}\left\|\gamma''(t)\right\|^{2}-\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)^{2} é exatamente \left\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\right\|^{2}, então outra forma frequente da expressão é