Seja \gamma: I \rightarrow \mathbb{R}^{3} uma curva derivável até a 2^{\mathrm{a}} ordem, com \left\|\gamma^{\prime}(t)\right\| \neq 0 no intervalo I. Seja s=s(t) a função comprimento de arco a partir de um ponto fixo t_{0} \in I.
Sejam, ainda,
\vec{T}(t)=\frac{\gamma^{\prime}(t)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|}
o versor tangente de \gamma^{\prime}(t) e \vec{t}(s) dada por
\vec{t}(s)=\vec{T}(t), \quad \text { onde } t=t(s)
Mostre que:
(a)
\frac{d \vec{T}}{d t}(t)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}}
(b)
\frac{d \vec{t}}{d s}(s)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{4}}, \quad \text { com } t=t(s)
(c)
\left\|\frac{d \vec{t}}{d s}(s)\right\|=\sqrt{\frac{d \vec{t}}{d s}(s) \cdot \frac{d \vec{t}}{d s}(s)}=\frac{\sqrt{\left(\left\|\gamma^{\prime \prime}(t)\right\|\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|\right)^{2}-\left(\gamma^{\prime \prime}(t) \cdot \gamma^{\prime}(t)\right)^{2}}}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}}, \quad \text { onde } t=t(s)

Passo 1

O enunciado nos dá uma curva \gamma:I\to\mathbb{R}^3 duas vezes diferenciável, com \left\|\gamma'(t)\right\|\neq 0 para todo t\in I. Define-se o versor tangente
\vec{T}(t)=\frac{\gamma'(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|}
e a reparametrização por comprimento de arco s=s(t) (a partir de um t_0), com a notação \vec{t}(s)=\vec{T}(t) onde t=t(s).
As perguntas pedem para mostrar, passo a passo, as seguintes igualdades:
(a) a expressão de \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t);
(b) a expressão de \dfrac{d\vec{t}}{ds}(s) em termos de \gamma',\gamma'' avaliadas em t;
(c) a norma de \dfrac{d\vec{t}}{ds}(s) e a sua forma final.
Lista das informações úteis dadas:
  • \gamma'(t) e \gamma''(t) existem e \left\|\gamma'(t)\right\|>0.
  • \vec{T}(t)=\dfrac{\gamma'(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|}.
  • s=s(t) é comprimento de arco, portanto \dfrac{ds}{dt}=\left\|\gamma'(t)\right\| (usaremos isto no Passo 4).

Passo 2

Preparação: derivada do comprimento \left\|\gamma'(t)\right\|.
Queremos \dfrac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\|. Para evitar a raiz, primeiro derivamos o quadrado da norma e depois usamos a regra da cadeia. Lembrando que para vetores u(t) vale \dfrac{d}{dt}(u\cdot u)=2\,u\cdot u'.
Começamos com
\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}=\gamma'(t)\cdot\gamma'(t).
Derivando ambos os lados em relação a t:
\frac{d}{dt}\left(\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}\right)=\frac{d}{dt}\big(\gamma'(t)\cdot\gamma'(t)\big)=2\,\gamma'(t)\cdot\gamma''(t).
Agora aplicamos a regra da cadeia à função raiz quadrada \left\|\gamma'(t)\right\|=\sqrt{\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}}. Assim,
\frac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\| =\frac{1}{2\left\|\gamma'(t)\right\|}\cdot\frac{d}{dt}\left(\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}\right) =\frac{1}{2\left\|\gamma'(t)\right\|}\cdot 2\,\gamma'(t)\cdot\gamma''(t).
Portanto obtemos a fórmula útil
\frac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\| =\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|}.
Aqui estou usando que \gamma'(t)\cdot\gamma''(t) é o produto escalar entre os vetores \gamma'(t) e \gamma''(t), e que \left\|\gamma'(t)\right\| é o escalar positivo raiz do quadrado da norma.

Passo 3

Derivada de \vec{T}(t)=\dfrac{\gamma'(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|} em relação a t — demonstração de (a).
Uma forma prática é escrever \vec{T}(t)=\big(\left\|\gamma'(t)\right\|\big)^{-1}\gamma'(t) e usar a regra do produto (produto de um escalar e um vetor). Aplicando a regra do produto:
\frac{d\vec{T}}{dt}(t) =\frac{d}{dt}\Big(\left\|\gamma'(t)\right\|^{-1}\Big)\gamma'(t) +\left\|\gamma'(t)\right\|^{-1}\gamma''(t).
Calculemos \dfrac{d}{dt}\big(\left\|\gamma'(t)\right\|^{-1}\big) usando regra da cadeia:
\frac{d}{dt}\Big(\left\|\gamma'(t)\right\|^{-1}\Big) =-\left\|\gamma'(t)\right\|^{-2}\cdot\frac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\|.
Substituindo a fórmula do Passo 2 para \dfrac{d}{dt}\left\|\gamma'(t)\right\|, obtemos
\frac{d}{dt}\Big(\left\|\gamma'(t)\right\|^{-1}\Big) =-\left\|\gamma'(t)\right\|^{-2}\cdot\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|} =-\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}}.
Agora voltamos à expressão para \dfrac{d\vec{T}}{dt}:
\frac{d\vec{T}}{dt}(t) =-\frac{\gamma'(t)\cdot\gamma''(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}}\gamma'(t) +\frac{\gamma''(t)}{\left\|\gamma'(t)\right\|}.
Colocando sobre um denominador comum \left\|\gamma'(t)\right\|^{3} e rearranjando,
\frac{d\vec{T}}{dt}(t) =\frac{\gamma''(t)\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}-\gamma'(t)\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}}.
Isto é exatamente a fórmula pedida em (a).
Observação didática: a ideia é equivalente a aplicar a regra do quociente para vetores, mas escrever como produto de um escalar inverso torna as contas mais claras.

Passo 4

Reparametrização pelo comprimento de arco e prova de (b).
Por definição de comprimento de arco s=s(t) tomado a partir de t_0,
\frac{ds}{dt}=\left\|\gamma'(t)\right\|.
Como \left\|\gamma'(t)\right\|>0, podemos inverter e obter
\frac{dt}{ds}=\frac{1}{\left\|\gamma'(t)\right\|}.
A relação entre \vec{t}(s) e \vec{T}(t) é \vec{t}(s)=\vec{T}(t) com t=t(s). Aplicando a regra da cadeia para derivar em relação a s:
\frac{d\vec{t}}{ds}(s) =\frac{d\vec{T}}{dt}(t)\cdot\frac{dt}{ds}.
Substituindo \dfrac{d\vec{T}}{dt}(t) da Parte (a) e \dfrac{dt}{ds}=\dfrac{1}{\left\|\gamma'(t)\right\|}, obtém-se
\frac{d\vec{t}}{ds}(s) =\left(\frac{\gamma''(t)\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}-\gamma'(t)\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}}\right)\cdot\frac{1}{\left\|\gamma'(t)\right\|}
e, simplificando o denominador,
\frac{d\vec{t}}{ds}(s) =\frac{\gamma''(t)\left\|\gamma'(t)\right\|^{2}-\gamma'(t)\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{4}},
com t=t(s). Isso prova (b).

Passo 5

Cálculo da norma de \dfrac{d\vec{t}}{ds}(s) — demonstração de (c).
Defina para simplificar u=\gamma'(t) e v=\gamma''(t). Então, pela (b),
\frac{d\vec{t}}{ds}(s)=\frac{A}{\left\|u\right\|^{4}}, \qquad\text{onde}\qquad A=\left\|u\right\|^{2}v-(v\cdot u)\,u.
Queremos \left\|\dfrac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\|=\sqrt{\dfrac{d\vec{t}}{ds}\cdot\dfrac{d\vec{t}}{ds}}. Usando que dividir um vetor por um escalar positivo escala a norma, temos
\left\|\frac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\| =\frac{\left\|A\right\|}{\left\|u\right\|^{4}} =\frac{\sqrt{A\cdot A}}{\left\|u\right\|^{4}}.
Calculemos A\cdot A. Expandindo:
A\cdot A =\big(\left\|u\right\|^{2}v-(v\cdot u)u\big)\cdot\big(\left\|u\right\|^{2}v-(v\cdot u)u\big).
Usando a bilinearidade do produto escalar obtemos três termos:
A\cdot A =\left\|u\right\|^{4}(v\cdot v) -2\left\|u\right\|^{2}(v\cdot u)(v\cdot u) +(v\cdot u)^{2}(u\cdot u).
Agora note que u\cdot u=\left\|u\right\|^{2} e v\cdot v=\left\|v\right\|^{2}. Substituindo:
A\cdot A =\left\|u\right\|^{4}\left\|v\right\|^{2} -2\left\|u\right\|^{2}(v\cdot u)^{2} +(v\cdot u)^{2}\left\|u\right\|^{2}.
Os dois últimos termos somam para -\left\|u\right\|^{2}(v\cdot u)^{2}, portanto
A\cdot A =\left\|u\right\|^{4}\left\|v\right\|^{2}-\left\|u\right\|^{2}(v\cdot u)^{2} =\left\|u\right\|^{2}\Big(\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}-(v\cdot u)^{2}\Big).
Tomando raiz quadrada,
\sqrt{A\cdot A} =\left\|u\right\|\sqrt{\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}-(v\cdot u)^{2}}.
Voltando à expressão para a norma,
\left\|\frac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\| =\frac{\sqrt{A\cdot A}}{\left\|u\right\|^{4}} =\frac{\left\|u\right\|\sqrt{\left\|u\right\|^{2}\left\|v\right\|^{2}-(v\cdot u)^{2}}}{\left\|u\right\|^{4}} =\frac{\sqrt{\left(\left\|v\right\|\left\|u\right\|\right)^{2}-(v\cdot u)^{2}}}{\left\|u\right\|^{3}}.
Reescrevendo em termos de \gamma' e \gamma'' (lembrando u=\gamma'(t), v=\gamma''(t)) obtemos exatamente a fórmula pedida em (c):
\left\|\frac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\| =\frac{\sqrt{\big(\left\|\gamma''(t)\right\|\left\|\gamma'(t)\right\|\big)^{2}-\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)^{2}}}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}},
com t=t(s).
Comentário curto e útil: a quantidade \left\|\gamma'(t)\right\|^{2}\left\|\gamma''(t)\right\|^{2}-\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)^{2} é exatamente \left\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\right\|^{2}, então outra forma frequente da expressão é
\left\|\frac{d\vec{t}}{ds}(s)\right\| =\frac{\left\|\gamma'(t)\times\gamma''(t)\right\|}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}}.

Resposta

\displaystyle \frac{d \vec{T}}{d t}(t)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\big(\gamma^{\prime \prime}(t)\cdot\gamma^{\prime}(t)\big)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{3}}
\displaystyle \frac{d \vec{t}}{d s}(s)=\frac{\gamma^{\prime \prime}(t)\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{2}-\gamma^{\prime}(t)\big(\gamma^{\prime \prime}(t)\cdot\gamma^{\prime}(t)\big)}{\left\|\gamma^{\prime}(t)\right\|^{4}},\quad\text{com }t=t(s)
\displaystyle \left\|\frac{d \vec{t}}{d s}(s)\right\| =\frac{\sqrt{\big(\left\|\gamma''(t)\right\|\left\|\gamma'(t)\right\|\big)^{2}-\big(\gamma''(t)\cdot\gamma'(t)\big)^{2}}}{\left\|\gamma'(t)\right\|^{3}},\quad\text{onde }t=t(s)

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