Determine os vetores tangente e normal unitários \mathbf{T}(t) e \mathbf{N}(t) das curvas dadas abaixo. Determine a curvatura das seguintes curvas dadas abaixo.
\alpha(t)=(t, \operatorname{cosh} (t)), \quad t \in \mathbb{R}

Passo 1

O enunciado dá a curva \alpha(t)=(t,\operatorname{cosh}(t)) com t\in\mathbb{R} e pede três coisas:
  • o vetor tangente unitário \mathbf{T}(t);
  • o vetor normal unitário \mathbf{N}(t);
  • a curvatura \kappa(t).
Informações relevantes fornecidas:
  • Coordenadas da curva: componente x(t)=t e componente y(t)=\operatorname{cosh}(t).
  • Conhecer as derivadas de \operatorname{cosh} e \operatorname{sinh} será necessário: \dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh}(t)=\operatorname{sinh}(t) e \dfrac{d}{dt}\operatorname{sinh}(t)=\operatorname{cosh}(t).
  • A identidade hiperbólica útil: \operatorname{cosh}^2(t)-\operatorname{sinh}^2(t)=1.

Passo 2

Calcular a derivada (velocidade) \alpha'(t). Isto é só derivar componente a componente:
\alpha'(t)=\bigl(x'(t),y'(t)\bigr)=\bigl(1,\operatorname{sinh}(t)\bigr).
Explicando: x'(t)=\dfrac{d}{dt}t=1 e y'(t)=\dfrac{d}{dt}\operatorname{cosh}(t)=\operatorname{sinh}(t).

Passo 3

Calcular a velocidade escalar (módulo de \alpha'(t)), que chamamos de \|\alpha'(t)\|. Fórmula:
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{(x'(t))^2+(y'(t))^2}=\sqrt{1+\operatorname{sinh}^2(t)}.
Agora usamos a identidade hiperbólica \operatorname{cosh}^2(t)-\operatorname{sinh}^2(t)=1, que rearranjada dá 1+\operatorname{sinh}^2(t)=\operatorname{cosh}^2(t). Logo
\|\alpha'(t)\|=\sqrt{\operatorname{cosh}^2(t)}=\operatorname{cosh}(t),
onde escolhemos o sinal positivo porque \operatorname{cosh}(t)>0 para todo t. Isso significa que a velocidade da curva é \operatorname{cosh}(t).

Passo 4

Definição e cálculo do vetor tangente unitário \mathbf{T}(t). Definição:
\mathbf{T}(t)=\frac{\alpha'(t)}{\|\alpha'(t)\|}.
Substituindo os resultados anteriores:
\mathbf{T}(t)=\frac{(1,\operatorname{sinh}(t))}{\operatorname{cosh}(t)}=\Bigl(\frac{1}{\operatorname{cosh}(t)},\frac{\operatorname{sinh}(t)}{\operatorname{cosh}(t)}\Bigr).
Convenientemente podemos escrever em funções hiperbólicas conhecidas:
\mathbf{T}(t)=\bigl(\sech(t),\operatorname{tanh}(t)\bigr),
onde \sech(t)=1/\operatorname{cosh}(t) e \operatorname{tanh}(t)=\operatorname{sinh}(t)/\operatorname{cosh}(t).

Passo 5

Vamos preparar para achar a curvatura: calculamos a derivada \mathbf{T}'(t). Derivando componente a componente (usando regras de derivação e derivadas das hiperbólicas):
  • \dfrac{d}{dt}\sech(t)= -\sech(t)\operatorname{tanh}(t) (pode ver isso derivando 1/\operatorname{cosh}(t) por regra do quociente),
  • \dfrac{d}{dt}\operatorname{tanh}(t)=\sech^2(t).
Portanto
\mathbf{T}'(t)=\bigl(-\sech(t)\operatorname{tanh}(t),\\ \sech^2(t)\bigr).

Passo 6

Calcular o módulo \|\mathbf{T}'(t)\|. Fazemos
\|\mathbf{T}'(t)\|=\sqrt{(-\sech(t)\operatorname{tanh}(t))^2+(\sech^2(t))^2}.
Desenvolvendo:
(-\sech\operatorname{tanh})^2=\sech^2(t)\operatorname{tanh}^2(t),\qquad (\sech^2)^2=\sech^4(t).
Somando:
\sech^2(t)\operatorname{tanh}^2(t)+\sech^4(t)=\sech^2(t)\bigl(\operatorname{tanh}^2(t)+\sech^2(t)\bigr).
Usando a identidade \sech^2(t)=1-\operatorname{tanh}^2(t) (equivalente às hiperbólicas anteriores) obtemos \operatorname{tanh}^2(t)+\sech^2(t)=1. Assim a soma vira \sech^2(t). Logo
\|\mathbf{T}'(t)\|=\sqrt{\sech^2(t)}=\sech(t),
novamente positivo porque \sech(t)>0.

Passo 7

Fórmula da curvatura e cálculo. Em parametrização por t a curvatura \kappa(t) pode ser obtida por
\kappa(t)=\frac{\|\mathbf{T}'(t)\|}{\|\alpha'(t)\|}.
Substituindo \|\mathbf{T}'(t)\|=\sech(t) (Passo 6) e \|\alpha'(t)\|=\operatorname{cosh}(t) (Passo 3):
\kappa(t)=\frac{\sech(t)}{\operatorname{cosh}(t)}=\sech(t)\cdot\sech(t)=\sech^2(t).
Portanto a curvatura é \kappa(t)=\sech^2(t). Observação rápida: isso é uma função positiva que atinge máximo em t=0 (onde \sech(0)=1, logo \kappa(0)=1) e decresce quando |t| aumenta.

Passo 8

Calcular o vetor normal unitário \mathbf{N}(t). Definição prática: \mathbf{N}(t) é a direção de \mathbf{T}'(t) normalizada, ou seja
\mathbf{N}(t)=\frac{\mathbf{T}'(t)}{\|\mathbf{T}'(t)\|}.
Substituímos \mathbf{T}'(t)=\bigl(-\sech(t)\operatorname{tanh}(t),\sech^2(t)\bigr) e \|\mathbf{T}'(t)\|=\sech(t). Dividindo componente a componente:
\mathbf{N}(t)=\Bigl(\frac{-\sech(t)\operatorname{tanh}(t)}{\sech(t)},\frac{\sech^2(t)}{\sech(t)}\Bigr)=\bigl(-\operatorname{tanh}(t),\sech(t)\bigr).
Verificação rápida: \mathbf{N}(t) tem norma 1 e é ortogonal a \mathbf{T}(t) (produto interno \sech\cdot(-\operatorname{tanh})+\operatorname{tanh}\cdot\sech=0), como deve ser.

Passo 9

Resumo e interpretação curta (para gravar na prova): para cada t a velocidade é \operatorname{cosh}(t), o tangente unitário aponta na direção (\sech(t),\operatorname{tanh}(t)), o normal unitário é (-\operatorname{tanh}(t),\sech(t)) e a curvatura é \sech^2(t). Isso significa que a curva é mais curva perto de t=0 e fica “mais reta” (curvatura tendendo a zero) quando |t| cresce.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\bigl(\sech(t),\operatorname{tanh}(t)\bigr)
\displaystyle \mathbf{N}(t)=\bigl(-\operatorname{tanh}(t),\sech(t)\bigr)
\displaystyle \kappa(t)=\sech^2(t)

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