Determine os vetores tangente e normal unitários
e
das curvas dadas abaixo. Determine a curvatura das seguintes curvas dadas abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a curva
com
e pede três coisas:
- o vetor tangente unitário
; - o vetor normal unitário
; - a curvatura
.
Informações relevantes fornecidas:
- Coordenadas da curva: componente
e componente . - Conhecer as derivadas de
e será necessário: e . - A identidade hiperbólica útil:
.
Passo 2
Calcular a derivada (velocidade)
. Isto é só derivar componente a componente:
Explicando:
e
.
Passo 3
Calcular a velocidade escalar (módulo de
), que chamamos de
. Fórmula:
Agora usamos a identidade hiperbólica
, que rearranjada dá
. Logo
onde escolhemos o sinal positivo porque
para todo
. Isso significa que a velocidade da curva é
.
Passo 4
Definição e cálculo do vetor tangente unitário
. Definição:
Substituindo os resultados anteriores:
Convenientemente podemos escrever em funções hiperbólicas conhecidas:
onde
e
.
Passo 5
Vamos preparar para achar a curvatura: calculamos a derivada
. Derivando componente a componente (usando regras de derivação e derivadas das hiperbólicas):
-
(pode ver isso derivando
por regra do quociente), - .
Portanto
Passo 6
Calcular o módulo
. Fazemos
Desenvolvendo:
Somando:
Usando a identidade
(equivalente às hiperbólicas anteriores) obtemos
. Assim a soma vira
. Logo
novamente positivo porque
.
Passo 7
Fórmula da curvatura e cálculo. Em parametrização por
a curvatura
pode ser obtida por
Substituindo
(Passo 6) e
(Passo 3):
Portanto a curvatura é
. Observação rápida: isso é uma função positiva que atinge máximo em
(onde
, logo
) e decresce quando
aumenta.
Passo 8
Calcular o vetor normal unitário
. Definição prática:
é a direção de
normalizada, ou seja
Substituímos
e
. Dividindo componente a componente:
Verificação rápida:
tem norma 1 e é ortogonal a
(produto interno
), como deve ser.
Passo 9
Resumo e interpretação curta (para gravar na prova): para cada
a velocidade é
, o tangente unitário aponta na direção
, o normal unitário é
e a curvatura é
. Isso significa que a curva é mais curva perto de
e fica “mais reta” (curvatura tendendo a zero) quando
cresce.