Determine uma parametrização (em particular, especifique o domínio) para cada superfície abaixo:
O elipsóide x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1. Sugestão: note que se (x, y, z) pertence ao elipsóide, então (xa, yb, zc) pertence à esfera de raio 1 .

Passo 1

Então, a gente precisa encontrar uma parametrização para o elipsóide dado pela equação x^2a^2+y^2b^2+z^2c^2=1. Isso envolve usar conceitos de parametrização de superfícies, especialmente a transformação de coordenadas. Vamos precisar usar trigonometria e entender como parametrizar uma esfera para adaptar ao elipsóide.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como parametrizei uma esfera de raio 1. A parametrização usual usa os ângulos esféricos [\theta) (azimutal) e (polar):
Aqui, a e de a .

Passo 3

A dica do exercício sugere transformar o elipsóide numa esfera. Vamos fazer isso dividindo as coordenadas originais por a, b e c respectivamente:
(xa, yb, zc)
Assim, a equação do elipsóide se transforma em:
(xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2 = 1
Isso se parece com a equação da esfera de raio 1.

Passo 4

Então, podemos usar a parametrização da esfera e reescalar cada coordenada para obter a parametrização do elipsóide. Substituindo na parametrização da esfera:
xa = sinphi costheta yb = sinphi sintheta zc = cosphi
Multiplicando cada equação por a, b e c respectivamente, temos:
x = a sinphi costheta y = b sinphi sintheta z = c cosphi

Passo 5

Agora, precisamos definir o domínio dos parâmetros theta e phi. Assim como na esfera, theta deve variar de 0 a 2pi para cobrir todo o ângulo azimutal, e phi de 0 a pi para cobrir desde o polo norte até o polo sul do elipsóide.

Resposta

A parametrização do elipsóide é:
x = a sinphi costheta y = b sinphi sintheta z = c cosphi
com theta in [0, 2pi] e phi in [0, pi].

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