Determine uma parametrização (em particular, especifique o domínio) para cada superfície abaixo:
O elipsóide . Sugestão: note que se pertence ao elipsóide, então pertence à esfera de raio 1 .
Passo 1
Então, a gente precisa encontrar uma parametrização para o elipsóide dado pela equação . Isso envolve usar conceitos de parametrização de superfícies, especialmente a transformação de coordenadas. Vamos precisar usar trigonometria e entender como parametrizar uma esfera para adaptar ao elipsóide.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como parametrizei uma esfera de raio 1. A parametrização usual usa os ângulos esféricos [\theta) (azimutal) e (polar):
Aqui, a e de a .
Passo 3
A dica do exercício sugere transformar o elipsóide numa esfera. Vamos fazer isso dividindo as coordenadas originais por a, b e c respectivamente:
(xa, yb, zc)
Assim, a equação do elipsóide se transforma em:
(xa)^2 + (yb)^2 + (zc)^2 = 1
Isso se parece com a equação da esfera de raio 1.
Passo 4
Então, podemos usar a parametrização da esfera e reescalar cada coordenada para obter a parametrização do elipsóide. Substituindo na parametrização da esfera:
Multiplicando cada equação por a, b e c respectivamente, temos:
x = a sinphi costheta y = b sinphi sintheta z = c cosphi
Passo 5
Agora, precisamos definir o domínio dos parâmetros theta e phi. Assim como na esfera, theta deve variar de 0 a 2pi para cobrir todo o ângulo azimutal, e phi de 0 a pi para cobrir desde o polo norte até o polo sul do elipsóide.
Resposta
A parametrização do elipsóide é:
x = a sinphi costheta y = b sinphi sintheta z = c cosphi