Utilize a transformação dada para calcular a integral:
(a)
integral duplaR(x-3 y) d A,
onde R é a região triangular de vértices (0,0), (2,1) e (1,2), x=2 u+v, y=u+2 v;
(b)
integral duplaR x^2 d A,
onde R é a região limitada pela elipse 9 x^2+4 y^2= 36, x=2 u, y=3 v ;
(c)
integral duplaR x y d A,
onde R é a região do primeiro quadrante limitada pelas retas y=x e y=3 x e pelas hipérboles x y=1 e x y=3, x=u / v, y=v.

Passo 1

O enunciado pede para calcular três integrais duplas usando mudanças de variáveis apropriadas. Em cada caso vamos:
  • Usar a transformação dada x=x(u,v), y=y(u,v).
  • Determinar o jacobiano partial(x,y)partial(u,v).
  • Encontrar a região em (u,v).
  • Reescrever o integrando e dA em termos de u,v.
  • Calcular a integral iterada em u,v.

Passo 2

(a) Temos ;x=2u+v,;y=u+2v. O jacobiano é
J = det partial xpartial u & partial xpartial v[6pt] partial ypartial u & partial ypartial v = det2&11&2 =4-1=3
Invertemos para achar a região: dos vértices (0,0),(2,1),(1,2) obtemos em (u,v) os pontos (0,0),(0,1),(1,0). Logo
T=(u,v)mid u>=0,;v>=0,;u+v<=1
O integrando fica
x-3y = (2u+v)-3(u+2v) = -u-5v,
e dA=|J|,du,dv=3,du,dv. Portanto
integral duplaR (x-3y),dA = integral duplaT(-u-5v),3,du,dv = integral duplaT(-3u-15v),du,dv ]

Passo 3

Calculamos
integralu=0^1!integralv=0^1-u(-3u-15v),dv,du
Primeiro em v:
integral0^1-u(-3u-15v),dv = -3u(1-u) -15(1-u)^22 = -3u+3u^2 -152(1-2u+u^2)
Depois em u:
integral0^1l(-3u+3u^2 -152+;15u-152u^2r)du = integral0^1l(12u-tfrac92u^2-tfrac152r)du = -3

Passo 4

(b) Aqui x=2u,;y=3v. O jacobiano vale
J = det2&00&3=6,
e dA=6,du,dv. A elipse 9x^2+4y^2=36 vira 9(2u)^2+4(3v)^2=36iff 36(u^2+v^2)=36iff u^2+v^2<=1. No novo integrando temos x^2=(2u)^2=4u^2. Assim
integral duplaR x^2,dA = integral duplau^2+v^2<=14u^2cdot6,du,dv =24integral duplau^2+v^2<=1u^2,du,dv

Passo 5

Usando coordenadas polares ,u=rcostheta,;v=rsintheta,
integral duplau^2+v^2<=1u^2,du,dv = integral0^2pi!integral0^1(rcostheta)^2,r,dr,dtheta = l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^3,drr) = picdottfrac14 = tfracpi4
Logo a integral é
24cdottfracpi4 = 6pi

Passo 6

(c) A transformação é
x=uv, y=v
O jacobiano é
J = det partial xpartial u&partial xpartial v[4pt] partial ypartial u&partial ypartial v = det1/v & -u/v^20&1 =1v
Assim dA=1v,du,dv. O integrando xy=(u/v),v = u. As curvas xy=1 e xy=3 viram u=1 e u=3. As retas y=x e y=3x dão v^2=u e v^2=3u, ou seja v=raizu e v=raiz3u. No primeiro quadrante
U=(u,v)mid1<= u<=3,;raizu<= v<=raiz3u
A integral torna-se
integral duplaR xy,dA = integralu=1^3!integralv=raizu^raiz3uu;1v,dv,du ]

Passo 7

Primeiro em v:
integralraizu^raiz3uuv,dv = ul[ln vr]raizu^raiz3u = ul(tfrac12ln(3u)-tfrac12ln ur) = u2ln3
Depois em u:
integral1^3u2ln3,du =ln32integral1^3u,du =ln32l[tfracu^22r]1^3 =2ln3

Resposta

(a) -3
(b) 6pi
(c) 2ln3

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