integral duplau^2+v^2<=1u^2,du,dv = integral0^2pi!integral0^1(rcostheta)^2,r,dr,dtheta = l(integral0^2picos^2theta,dthetar)l(integral0^1r^3,drr) = picdottfrac14 = tfracpi4
Logo a integral é
24cdottfracpi4 = 6pi
Passo 6
(c) A transformação é
x=uv, y=v
O jacobiano é
J = det partial xpartial u&partial xpartial v[4pt] partial ypartial u&partial ypartial v = det1/v & -u/v^20&1 =1v
Assim dA=1v,du,dv. O integrando xy=(u/v),v = u. As curvas xy=1 e xy=3 viram u=1 e u=3. As retas y=x e y=3x dão v^2=u e v^2=3u, ou seja v=raizu e v=raiz3u. No primeiro quadrante
U=(u,v)mid1<= u<=3,;raizu<= v<=raiz3u
A integral torna-se
integral duplaR xy,dA = integralu=1^3!integralv=raizu^raiz3uu;1v,dv,du ]