Encontre a solução de equilibro, faca um esboço do campo de direções e determine o comportamento quando
das seguintes EDO:
Passo 1
O enunciado nos dá a EDO logística
e pede (i) os pontos de equilíbrio, (ii) a solução geral, (iii) um esboço do campo de direções e (iv) o comportamento de
quando
.
Passo 2
Para encontrar os equilíbrios, fazemos
Logo,
e
.
Analisando o sinal de :
Analisando o sinal de
- Se
, então (setas para baixo). - Se
, então (setas para cima). - Se
, então (setas para baixo).
Isso mostra queé instável e é estável.
Passo 3
Resolvemos por separação de variáveis:
Usamos frações parciais:
Integrando,
Passo 4
Multiplicando por 4 e exponenciando,
Isolando
,
onde
é constante definida pela condição inicial
.
Passo 5
Esboço qualitativo do campo de direções:
- Em
: setas para baixo. - Em
: setas para cima. - Em
: setas para baixo.
As linhas horizontaise aparecem como equilíbrios (setas horizontais).
Passo 6
Comportamento quando
:
- Se
e , então e
- Se
, então e a solução fica . - Se quisermos estender a solução para
, ocorre uma singularidade em tempo finito, mas formalmente para também teríamos .
Resposta
Equilíbrios:
(instável) e
(estável).
Solução geral:
Solução geral:
com
determinado por
.
Esboço do campo de direções: setas para cima em , para baixo em
ou
.
Limite para : se
, então
; se
,
.
Esboço do campo de direções: setas para cima em
Limite para