Encontre a solução de equilibro, faca um esboço do campo de direções e determine o comportamento quando t infty das seguintes EDO:
y^prime=y(4-y)

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO logística
y'=y(4-y)
e pede (i) os pontos de equilíbrio, (ii) a solução geral, (iii) um esboço do campo de direções e (iv) o comportamento de y(t) quando ttoinfty.

Passo 2

Para encontrar os equilíbrios, fazemos
y(4-y)=0
Logo, bar y=0 e bar y=4.
Analisando o sinal de y':
  • Se y<0, então y'<0 (setas para baixo).
  • Se 0<y<4, então y'>0 (setas para cima).
  • Se y>4, então y'<0 (setas para baixo).
    Isso mostra que y=0 é instável e y=4 é estável.

Passo 3

Resolvemos por separação de variáveis:
dyy(4-y) = dt
Usamos frações parciais:
1y(4-y) = 14l(1y + 14-yr)
Integrando,
integral 14l(1y + 14-yr),dy = integral dt Longrightarrow 14lny4-y=t+C

Passo 4

Multiplicando por 4 e exponenciando,
lny4-y = 4t+K Longrightarrow y4-y = Ce^4t
Isolando y,
y(t) = 4,Ce^4t1 + Ce^4t = 41 + C,e^-4t,
onde C é constante definida pela condição inicial y(0).

Passo 5

Esboço qualitativo do campo de direções:
  • Em y<0: setas para baixo.
  • Em 0<y<4: setas para cima.
  • Em y>4: setas para baixo.
    As linhas horizontais y=0 e y=4 aparecem como equilíbrios (setas horizontais).

Passo 6

Comportamento quando ttoinfty:
  • Se y(0)>0 e y(0)neq4, então Ce^-4tto0 e
y(t)to4
  • Se y(0)=0, então Ctoinfty e a solução fica y(t)equiv0.
  • Se quisermos estender a solução para y(0)<0, ocorre uma singularidade em tempo finito, mas formalmente para ttoinfty também teríamos y(t)to4.

Resposta

Equilíbrios: bar y=0 (instável) e bar y=4 (estável).
Solução geral:
y(t) = 41 + C,e^-4t,
com C determinado por y(0).
Esboço do campo de direções: setas para cima em 0<y<4, para baixo em y<0 ou y>4.
Limite para ttoinfty: se y(0)>0, então limttoinftyy(t)=4; se y(0)=0, y(t)equiv0.

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