In each of Problems 1 through 8 solve the given differential equation.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais de primeira ordem e usaremos técnicas de separação de variáveis para resolver. Vamos precisar rearranjar os termos para separar
e
em lados opostos da equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a derivada
como
:
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por
para trazer o
para o lado esquerdo:
Isso nos deixa com
e
de um lado e
e
do outro, facilitando a separação das variáveis.
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada nos dê o que temos em cada lado:
Vamos resolver as integrais uma por uma.
Passo 4
Começando pela parte de
:
A integral de
é uma integral simples que resulta em:
onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos resolver a integral do lado de
:
Aqui, podemos usar uma substituição para simplificar. Vamos deixar
. Então, derivando
em relação a
:
Substituindo na integral:
Passo 6
A integral de
é o logaritmo natural:
onde
é outra constante de integração.
Passo 7
Agora, juntamos as duas partes que integramos:
Podemos combinar as constantes
e
em uma única constante
:
Passo 8
Para isolar
, multiplicamos ambos os lados por 2:
Podemos simplesmente renomear
como
, já que
é uma constante arbitrária:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.