In each of Problems 1 through 8 solve the given differential equation.
y^prime=x^2 / y(1+x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial juntos! O enunciado nos dá a seguinte equação:
y' = x^2y(1 + x^3)
Aqui, trabalharemos com equações diferenciais de primeira ordem e usaremos técnicas de separação de variáveis para resolver. Vamos precisar rearranjar os termos para separar y e x em lados opostos da equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a derivada y' como dydx :
dydx = x^2y(1 + x^3)
Agora, vamos multiplicar ambos os lados por y para trazer o y para o lado esquerdo:
y , dy = x^21 + x^3 , dx
Isso nos deixa com y e dy de um lado e x e dx do outro, facilitando a separação das variáveis.

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A ideia aqui é encontrar uma função cuja derivada nos dê o que temos em cada lado:
integral y , dy = integral x^21 + x^3 , dx
Vamos resolver as integrais uma por uma.

Passo 4

Começando pela parte de y :
integral y , dy
A integral de y , dy é uma integral simples que resulta em:
12 y^2 + C1
onde C1 é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos resolver a integral do lado de x :
integral x^21 + x^3 , dx
Aqui, podemos usar uma substituição para simplificar. Vamos deixar u = 1 + x^3 . Então, derivando u em relação a x :
dudx = 3x^2 implies du = 3x^2 , dx implies du3 = x^2 , dx
Substituindo na integral:
integral x^21 + x^3 , dx = integral 1u cdot du3 = 13 integral 1u , du

Passo 6

A integral de 1u , du é o logaritmo natural:
13 ln |u| + C2 = 13 ln |1 + x^3| + C2
onde C2 é outra constante de integração.

Passo 7

Agora, juntamos as duas partes que integramos:
12 y^2 + C1 = 13 ln |1 + x^3| + C2
Podemos combinar as constantes C1 e C2 em uma única constante C :
12 y^2 = 13 ln |1 + x^3| + C

Passo 8

Para isolar y , multiplicamos ambos os lados por 2:
y^2 = 23 ln |1 + x^3| + 2C
Podemos simplesmente renomear 2C como C' , já que C é uma constante arbitrária:
y^2 = 23 ln |1 + x^3| + C'

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
y = raiz, 23 ln|1 + x^3| + C,
onde C é uma constante arbitrária.

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