Determine uma parametrização das seguintes curvas:
C3: y^2-x^2=4

Passo 1

O enunciado pede uma parametrização da curva
C3:;y^2-x^2=4
Essa é uma hipérbole centralizada na origem, com eixo transverso no eixo y. Para parametrizar, podemos usar funções hiperbólicas ou funções trigonométricas adequadas.

Passo 2

Lembrando as definições das funções hiperbólicas:
sinh(t)=e^t-e^-t2, cosh(t)=e^t+e^-t2,
que satisfazem a identidade fundamental
cosh^2(t)-sinh^2(t)=1

Passo 3

Multiplicando essa identidade por 4 obtemos
4cosh^2(t)-4sinh^2(t)=4 ;Longrightarrow; l(2cosh(t)r)^2-l(2sinh(t)r)^2=4,
ou seja, se definirmos
y=2cosh(t), x=2sinh(t),
a equação y^2-x^2=4 fica satisfeita.

Passo 4

Portanto, uma parametrização do ramo superior (
Para cobrir o ramo inferior (:

Resposta

Uma parametrização de C3 é
x(t)=2sinh(t), y(t)=2cosh(t), tinR,
que cobre o ramo com y>0. O ramo com y<0 vem de trocar y(t) para -2cosh(t).

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