Use o Lema Fundamental e mostre que a função
é diferenciável no domínio indicado.
3. Determine o domínio das funções:
3. Determine o domínio das funções:
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que a gente determine seu domínio e prove que ela é diferenciável em todo esse domínio usando o Lema Fundamental de diferenciabilidade (o teorema que diz que, se as derivadas parciais existem e são contínuas num aberto, então a função é diferenciável ali).
Passo 2
Para achar o domínio de
, basta ver para quais
a expressão
está bem definida. Como é um polinômio em
e
, não há nenhuma restrição de divisão por zero ou radiciação de índice par de número negativo. Logo o domínio é
Passo 3
O Lema Fundamental (ou Teorema das Diferenças Lineares) afirma que, se num aberto as derivadas parciais de
existem e são contínuas, então
é diferenciável naquele aberto. Assim, nosso objetivo será calcular
e
e mostrar que elas são contínuas em
.
Passo 4
Calculemos as derivadas parciais:
Passo 5
As funções
e
são polinômios em
e
. Polinômios são contínuos em todo
. Portanto, as derivadas parciais de
existem e são contínuas em
.
Passo 6
Pelo Lema Fundamental, como
e
existem e são contínuas em todo
, concluímos que
é diferenciável em
.
Resposta
O domínio é
e a função
é diferenciável em todo esse domínio.