Use o Lema Fundamental e mostre que a função z=f(x, y) é diferenciável no domínio indicado.
3. Determine o domínio das funções:
z=x^2 y^4 ; D=R^2

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^2y^4
e pede que a gente determine seu domínio e prove que ela é diferenciável em todo esse domínio usando o Lema Fundamental de diferenciabilidade (o teorema que diz que, se as derivadas parciais existem e são contínuas num aberto, então a função é diferenciável ali).

Passo 2

Para achar o domínio de f, basta ver para quais (x,y) a expressão x^2y^4 está bem definida. Como é um polinômio em x e y, não há nenhuma restrição de divisão por zero ou radiciação de índice par de número negativo. Logo o domínio é
D = R^2

Passo 3

O Lema Fundamental (ou Teorema das Diferenças Lineares) afirma que, se num aberto as derivadas parciais de f existem e são contínuas, então f é diferenciável naquele aberto. Assim, nosso objetivo será calcular partial f/partial x e partial f/partial y e mostrar que elas são contínuas em R^2.

Passo 4

Calculemos as derivadas parciais:
partial fpartial x(x,y) = partialpartial xl(x^2y^4r) = 2x,y^4,
partial fpartial y(x,y) = partialpartial yl(x^2y^4r) = x^2cdot 4y^3 =4x^2y^3

Passo 5

As funções (x,y)mapsto 2x,y^4 e (x,y)mapsto 4x^2y^3 são polinômios em x e y. Polinômios são contínuos em todo R^2. Portanto, as derivadas parciais de f existem e são contínuas em R^2.

Passo 6

Pelo Lema Fundamental, como partial f/partial x e partial f/partial y existem e são contínuas em todo R^2, concluímos que f é diferenciável em R^2.

Resposta

O domínio é
D=R^2,
e a função f(x,y)=x^2y^4 é diferenciável em todo esse domínio.

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