Determine uma parametrização das seguintes curvas:
Elipse de centro
e semi-eixos
e
com orientação negativa.
Elipse de centro
Passo 1
O enunciado pede a parametrização de uma elipse centrada em
com semi-eixos
(no eixo
) e
(no eixo
), obedecendo orientação negativa (ou seja, sentido horário). Vamos usar a forma padrão de parametrização de elipse e depois deslocar para o centro
, ajustando o sinal para inverter a orientação.
Passo 2
Primeiro, consideremos a elipse canônica centrada em
com semi-eixos
e
. A parametrização com orientação positiva (sentido anti-horário) é
Passo 3
Para deslocar o centro para
, somamos essas coordenadas:
Isto ainda gera orientação positiva. Para inverter o sentido (fazer a elipse ser percorrida no sentido horário), basta trocar
por
ou, mais direto, mudar o sinal da componente
. Assim obtemos
Com isso, à medida que
aumenta, a curva é percorrida no sentido horário.