Determine uma parametrização para a superfície abaixo, indicando o domínio dos parâmetros:
A parte do cilindro x^2+y^2=1 entre os planos z=0 e z+y=1;

Passo 1

O enunciado pede a parte da superfície cilíndrica definida por x^2+y^2=1 que fica “entre” o plano inferior z=0 e o plano superior dado por
z + y = 1,
ou seja,
z = 1 - y
Para parametrizar, vamos usar como primeiro parâmetro o ângulo phi que percorre todo o círculo de raio 1 e como segundo parâmetro uma altura z que vai de 0 até o valor imposto pelo plano superior.

Passo 2

Como estamos num cilindro de raio 1 em torno do eixo z, vale a parametrização clássica
x = cosphi, y = sinphi,
com phi variando de 0 a 2pi. Resta só usar z livre, mas com limites.

Passo 3

O plano superior diz que, para cada phi,
z <= 1 - y = 1 - sinphi
E o plano inferior é z=0. Logo, o segundo parâmetro z varia em
0 ;<=; z ;<=; 1 - sinphi

Resposta

Uma parametrização conveniente é
x(phi,z) = cosphi, y(phi,z) = sinphi, z(phi,z) = z,
com o domínio dos parâmetros dado por
0 ;<=; phi ;<=; 2pi, 0 ;<=; z ;<=; 1 - sinphi

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