Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
r(t)=(1+t)^32 i+(1-t)^32 j+3 t2 k

Passo 1

O enunciado pede que a gente classifique a curva vec r(t)=(1+t)^3/2,vec i+(1-t)^3/2,vec j+tfrac3t2,vec k como suave, suave por partes ou nenhuma das duas. O conteúdo é o de curvas suaves: precisamos saber o que significa ser suave (derivada contínua e não nula) e aplicar à nossa parametrização.

Passo 2

Para definir o domínio natural da curva, observamos que há potências de expoente 3/2, que exigem o radicando não negativo. Logo,
1+t>=0e1-t>=0implies tin[-1,1]

Passo 3

Agora calculamos a derivada da curva:
vec r,'(t)=32(1+t)^1/2,vec i;-32(1-t)^1/2,vec j;+32,vec k
Cada componente de vec r,'(t) é contínua em (-1,1) porque raiz quadrada de função afim é contínua no interior do domínio. Logo, vec r,'(t) é contínua em (-1,1).

Passo 4

Para verificar se a curva é realmente suave, precisamos checar se vec r,'(t)neqvec0. Calculamos o módulo:
|vec r,'(t)|^2=l(tfrac32r)^2(1+t)+l(tfrac32r)^2(1-t)+l(tfrac32r)^2=94(1+t+1-t+1)=274>0
Como |vec r,'(t)|>0 para todo tin(-1,1) e vec r,'(t) é contínua, concluímos que a curva é suave no domínio natural.

Resposta

A parametrização é suave.

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