Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado pede que a gente classifique a curva
como suave, suave por partes ou nenhuma das duas. O conteúdo é o de curvas suaves: precisamos saber o que significa ser suave (derivada contínua e não nula) e aplicar à nossa parametrização.
Passo 2
Para definir o domínio natural da curva, observamos que há potências de expoente
, que exigem o radicando não negativo. Logo,
Passo 3
Agora calculamos a derivada da curva:
Cada componente de
é contínua em
porque raiz quadrada de função afim é contínua no interior do domínio. Logo,
é contínua em
.
Passo 4
Para verificar se a curva é realmente suave, precisamos checar se
. Calculamos o módulo:
Como
para todo
e
é contínua, concluímos que a curva é suave no domínio natural.
Resposta
A parametrização é suave.