Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
r(t)=cos ^2 t i+sin ^2 t j+t^2 k

Passo 1

Estamos trabalhando com a parametrização vec r(t)=cos^2 t,vec i+sin^2 t,vec j+t^2,vec k. O conteúdo aqui é o conceito de curva suave e curva suave por partes: para ser suave precisamos que vec r'(t) exista, seja contínua e nunca seja o vetor nulo; para ser suave por partes podemos permitir pontos isolados onde vec r'(t)=vec0, desde que em cada pedaço (intervalo aberto) ela seja suave.

Passo 2

Vamos calcular a derivada para verificar continuidade e zeros:
A derivada é
vec r,'(t)=ddt(cos^2 t),vec i+ddt(sin^2 t),vec j+ddt(t^2),vec k
Usando a regra da cadeia temos
vec r,'(t)=-2cos tsin t,vec i+2sin tcos t,vec j+2t,vec k=-sin(2t),vec i+sin(2t),vec j+2t,vec k

Passo 3

Observamos que vec r,'(t) é contínua para todo t (porque cada componente é uma combinação contínua de sin, cos e funções polinomiais). Agora buscamos se há pontos onde ela zera:
Para ter vec r,'(t)=vec0 precisamos
-sin(2t)=0, sin(2t)=0, 2t=0
As duas primeiras dão sin(2t)=0, ou seja 2t=npi. A terceira exige t=0. A interseção é apenas t=0. Então vec r,'(t)neqvec0 para todo tneq0, mas vec r,'(0)=vec0.

Passo 4

Como existe o ponto isolado t=0 onde vec r,'(t)=vec0, a curva não é suave em todo o domínio. Entretanto, podemos dividir o domínio em ( -infty,0 ) e (0, +infty ), onde em cada pedaço a derivada é não-nula e contínua. Isso caracteriza uma curva suave por partes.

Resposta

A parametrização não é suave globalmente (porque vec r,'(0)=0), mas é suave por partes.

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