Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
Passo 1
Estamos trabalhando com a parametrização
. O conteúdo aqui é o conceito de curva suave e curva suave por partes: para ser suave precisamos que
exista, seja contínua e nunca seja o vetor nulo; para ser suave por partes podemos permitir pontos isolados onde
, desde que em cada pedaço (intervalo aberto) ela seja suave.
Passo 2
Vamos calcular a derivada para verificar continuidade e zeros:
A derivada é
A derivada é
Usando a regra da cadeia temos
Passo 3
Observamos que
é contínua para todo
(porque cada componente é uma combinação contínua de
,
e funções polinomiais). Agora buscamos se há pontos onde ela zera:
Para ter precisamos
Para ter
As duas primeiras dão
, ou seja
. A terceira exige
. A interseção é apenas
. Então
para todo
, mas
.
Passo 4
Como existe o ponto isolado
onde
, a curva não é suave em todo o domínio. Entretanto, podemos dividir o domínio em
e
, onde em cada pedaço a derivada é não-nula e contínua. Isso caracteriza uma curva suave por partes.
Resposta
A parametrização não é suave globalmente (porque
), mas é suave por partes.