Determine se a sequência, dada pelo seu termo geral xn, converge ou diverge. Se ela convergir, encontre o limite.
xn=raiz[n]n^2+3

Passo 1

Aqui resumindo o problema: a sequência é xn = raiz[n]n^2 + 3. O conteúdo da matéria é limites de sequência envolvendo radiciação e exponenciais. Para resolver, vamos usar propriedades de potências e logaritmos para transformar essa raiz em algo mais fácil de analisar.

Passo 2

Primeiro a gente reescreve a raiz em forma de potência pra deixar o limite mais acessível. Então podemos escrever:
xn = (n^2 + 3)^1/n

Passo 3

Depois, para estudar o comportamento dessa potência quando ntoinfty, aplicamos o logaritmo natural, que transforma potência em produto. Assim:
ln(xn) = 1n,ln(n^2 + 3)

Passo 4

Agora precisamos avaliar o limite de tfrac1nln(n^2 + 3). Usamos a propriedade:
ln(n^2 + 3) = 2ln(n) + lnl(1 + tfrac3n^2r)
Logo:
tfrac1nln(n^2 + 3) = tfrac2ln(n)n + tfrac1nln!l(1 + tfrac3n^2r)
A gente sabe que limntoinftytfracln(n)n = 0 e lnl(1 + tfrac3n^2r)to 0, então os dois termos vão para zero e, consequentemente, limntoinftyln(xn)=0.

Passo 5

Como a função exp é contínua, segue que
limntoinfty xn = expl(limntoinfty ln(xn)r)

Resposta

A sequência converge e limntoinfty xn = exp(0) = 1.

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