Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
Passo 1
O enunciado pede para classificar a parametrização
como suave (isto é,
com
em todo o domínio), suave por partes (piecewise smooth) ou nenhuma das duas. Vamos usar a definição de suavidade para curvas paramétricas: basta verificar se
é
e onde sua derivada se anula.
Passo 2
Calculamos a derivada
Como
,
e
são todas funções
, concluímos que
é
em todo
.
Passo 3
Para ser suave em todo o domínio, precisamos de
Da segunda equação vem dá
, e em
dá
. Logo
.
Portanto,
só se anula em
, ou seja, a parametrização falha em ser suave apenas naquele ponto, mas é suave em
e em
.
Resposta
A parametrização dada é suave por partes (piecewise smooth), pois é
em todo
mas
, impedindo ser suave globalmente.