Determine quais das parametrizações a seguir é suave, suave por parte ou nenhuma das duas.
r(t)=(e^t-t) i+t^2 j+t^3 k

Passo 1

O enunciado pede para classificar a parametrização
vec r(t) = l(e^t - tr),vec i + t^2,vec j + t^3,vec k
como suave (isto é, C^infty com vec r,'(t)neqvec0 em todo o domínio), suave por partes (piecewise smooth) ou nenhuma das duas. Vamos usar a definição de suavidade para curvas paramétricas: basta verificar se vec r é C^infty e onde sua derivada se anula.

Passo 2

Calculamos a derivada
vec r,'(t) = ddtl(e^t - t,;t^2,;t^3r) = l(e^t - 1,;2t,;3t^2r)
Como e^t, t^2 e t^3 são todas funções C^infty, concluímos que vec r é C^infty em todo R.

Passo 3

Para ser suave em todo o domínio, precisamos de
Da segunda equação vem , e em . Logo .
Portanto, só se anula em , ou seja, a parametrização falha em ser suave apenas naquele ponto, mas é suave em e em .

Resposta

A parametrização dada é suave por partes (piecewise smooth), pois é C^infty em todo R mas vec r,'(0)=vec0, impedindo ser suave globalmente.

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