(a) Encontre o período de duplicação
, para as seguintes taxas de crescimento anual:
e
.
(b) Como
diminui à medida que
aumenta, poderíamos supor que
é inversamente proporcional à
, isto é, que
. Use suas respostas ao item anterior para confirmar que
, aproximadamente. Esta é a "Regra dos 70 " usada pelos banqueiros. Para calcular, de forma aproximada, o período de duplicação de um investimento, o banqueiro divide 70 pela taxa de rendimento anual.
(b) Como
Passo 1
O enunciado pede o período de duplicação
de um capital que cresce a uma taxa anual de
. O conteúdo aqui é juros compostos: a cada ano o capital multiplica por
. Para resolver vamos usar logaritmos e a equação de crescimento exponencial.
Passo 2
Seja
a taxa em forma decimal. A condição de duplicação é
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados,
Passo 3
Substituímos
e calculamos
Passo 4
Para ver se
é aproximadamente inversamente proporcional a
, calculamos o produto
:
Vemos que todos os produtos estão bem próximos de
.
Resposta
A partir desses valores concluímos que
o que confirma a chamada “Regra dos 70.”