(a) Encontre o período de duplicação D, para as seguintes taxas de crescimento anual: i %, 2 %, 3 %, 4 % e 5 %.
(b) Como d diminui à medida que i aumenta, poderíamos supor que D é inversamente proporcional à i, isto é, que D=k / i. Use suas respostas ao item anterior para confirmar que D=70 / i, aproximadamente. Esta é a "Regra dos 70 " usada pelos banqueiros. Para calcular, de forma aproximada, o período de duplicação de um investimento, o banqueiro divide 70 pela taxa de rendimento anual.

Passo 1

O enunciado pede o período de duplicação D de um capital que cresce a uma taxa anual de i%. O conteúdo aqui é juros compostos: a cada ano o capital multiplica por l(1+i/100r). Para resolver vamos usar logaritmos e a equação de crescimento exponencial.

Passo 2

Seja r=i/100 a taxa em forma decimal. A condição de duplicação é
(1+r)^D=2
Aplicando logaritmo natural em ambos os lados,
Dln(1+r)=ln2 Longrightarrow D=ln2lnl(1+i/100r)

Passo 3

Substituímos i=1,2,3,4,5 e calculamos
D1%=ln2ln1,01approx69,7 anos, D2%=ln2ln1,02approx35,0 anos,
D3%=ln2ln1,03approx23,45 anos, D4%=ln2ln1,04approx17,67 anos,
D5%=ln2ln1,05approx14,21 anos

Passo 4

Para ver se D é aproximadamente inversamente proporcional a i, calculamos o produto icdot Di:
1times69,7approx69,7, 2times35,0approx70,0, 3times23,45approx70,35,
4times17,67approx70,68, 5times14,21approx71,05
Vemos que todos os produtos estão bem próximos de 70.

Resposta

A partir desses valores concluímos que
Dapprox70i,
o que confirma a chamada “Regra dos 70.”

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