A meia-vida de uma substância radioativa é de 12 dias. Se inicialmente existe uma quantidade de 10,32 gramas:
(a) Obtenha uma equação que dê a quantidade Q, da substância, em função do tempo.
(b) Em quanto tempo a substância ficará reduzida a 1 grama?

Passo 1

O enunciado trata de decaimento radioativo, cujo conteúdo é modelo exponencial de meia-vida. Sabemos que a meia-vida é de 12 dias e que inicialmente há 10,32 gramas da substância. Precisamos:
  1. encontrar a expressão da quantidade Q(t) em função do tempo t, usando o fato de que a cada 12 dias a quantidade é reduzida à metade;
  2. determinar o tempo t para que Q(t)=1 grama.

Passo 2

Em decaimento radioativo com meia-vida T1/2, a quantidade em função do tempo é
Q(t)=Q0gl(tfrac12gr)^tfractT1/2,
onde Q0 é a quantidade inicial. Substituindo Q0=10,32 e T1/2=12, obtemos
Q(t)=10,32;l(tfrac12r)^tfract12

Passo 3

Para achar o tempo em que Q(t)=1, igualamos e resolvemos para t:
10,32;l(tfrac12r)^tfract12=1
Tomando logaritmo natural em ambos os lados,
ln(10,32)+t12,lnl(tfrac12r)=0 Longrightarrow t12=-ln(10,32)ln(tfrac12) Longrightarrow t=12,ln(10,32)ln(2)
Fazendo a conta aproximada,
tapprox 12;2,33410,6931approx40,4 dias

Resposta

(a) Q(t)=10,32;l(tfrac12r)^tfract12.
(b) Aproximadamente 40,4 dias.

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