Exercício 4: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função.
f(x, y)=x e^-2 x^2-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função f(x, y) = x e^-2x^2 - 2y^2 . Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde usamos derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a x e y são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular partial fpartial x e partial fpartial y e resolver o sistema:
partial fpartial x = 0 e partial fpartial y = 0

Passo 3

Vamos calcular as derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a x :
partial fpartial x = e^-2x^2 - 2y^2 + x cdot (-4x) e^-2x^2 - 2y^2 = e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2)
Derivada parcial em relação a y :
partial fpartial y = x cdot (-4y) e^-2x^2 - 2y^2 = -4xy e^-2x^2 - 2y^2

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações:
e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2) = 0 e -4xy e^-2x^2 - 2y^2 = 0
Como e^-2x^2 - 2y^2 nunca é zero, podemos simplificar:
1 - 4x^2 = 0 e -4xy = 0
Resolvendo 1 - 4x^2 = 0 :
x^2 = 14 Rightarrow x = pm 12
E para -4xy = 0 , temos duas possibilidades:
  1. x = 0
  2. y = 0
Porém, como x = pm 12 , a única solução que satisfaz ambas as equações é y = 0 .
Então, os pontos críticos são:
( 12, 0 ) e ( -12, 0 )

Passo 5

Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais segundas:
fxx, fyy, fxy
E então calcular o discriminante:
D = fxx fyy - (fxy)^2
Dependendo do valor de D e de fxx , podemos determinar se temos um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.

Passo 6

Vamos calcular as derivadas parciais segundas.
Segunda derivada em relação a x :
fxx = partialpartial x ( e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2) )
Aplicando a regra do produto:
fxx = e^-2x^2 - 2y^2 (-4x)(1 - 4x^2) + e^-2x^2 - 2y^2 (-8x) = e^-2x^2 - 2y^2 (-4x + 16x^3 - 8x)
Simplificando:
fxx = e^-2x^2 - 2y^2 (-12x + 16x^3)
Segunda derivada em relação a y :
fyy = partialpartial y ( -4xy e^-2x^2 - 2y^2 ) = -4x cdot e^-2x^2 - 2y^2 + (-4xy)(-4y) e^-2x^2 - 2y^2
Simplificando:
fyy = -4x e^-2x^2 - 2y^2 + 16xy^2 e^-2x^2 - 2y^2 = e^-2x^2 - 2y^2 (-4x + 16xy^2)
Derivada mista:
fxy = partialpartial y ( e^-2x^2 - 2y^2 (1 - 4x^2) ) = (1 - 4x^2)(-4y) e^-2x^2 - 2y^2 = -4y(1 - 4x^2) e^-2x^2 - 2y^2

Passo 7

Vamos avaliar essas derivadas nos pontos críticos ( 12, 0 ) e ( -12, 0 ) .
Para ( 12, 0 ) :
fxx = e^-2(12)^2 - 0 (-12 cdot 12 + 16 cdot (12)^3) = e^-0.5 (-6 + 2) = -4 e^-0.5
fyy = e^-0.5 (-4 cdot 12 + 16 cdot 12 cdot 0) = -2 e^-0.5
fxy = -4 cdot 0 cdot (1 - 4 cdot (12)^2) e^-0.5 = 0
Calculando o discriminante:
D = (-4 e^-0.5)(-2 e^-0.5) - 0^2 = 8 e^-1 > 0
E como fxx = -4 e^-0.5 < 0 , temos um máximo local nesse ponto.
Para ( -12, 0 ) :
Os cálculos serão simétricos ao ponto anterior, já que a função é par em relação a x .
fxx = e^-0.5 (-12 cdot (-12) + 16 cdot (-12)^3) = e^-0.5 (6 - 2) = 4 e^-0.5
fyy = e^-0.5 (-4 cdot (-12) + 16 cdot (-12) cdot 0) = 2 e^-0.5
fxy = -4 cdot 0 cdot (1 - 4 cdot (-12)^2) e^-0.5 = 0
Calculando o discriminante:
D = (4 e^-0.5)(2 e^-0.5) - 0^2 = 8 e^-1 > 0
E como fxx = 4 e^-0.5 > 0 , temos um mínimo local nesse ponto.

Resposta

A função f(x, y) = x e^-2x^2 - 2y^2 possui um máximo local no ponto ( 12, 0 ) e um mínimo local no ponto ( -12, 0 ) . Não há pontos de sela.

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