Exercício 4: Determine os valores máximos e mínimos locais e pontos de sela da função. Se você tiver um programa de computador para desenhar em três dimensões, trace o gráfico da função.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximos e mínimos locais e os pontos de sela da função
. Isso faz parte do estudo de funções de várias variáveis, onde usamos derivadas parciais e o teste da segunda derivada para identificar esses pontos especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os pontos críticos da função. Esses pontos são onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Ou seja, precisamos calcular
e
e resolver o sistema:
Passo 3
Vamos calcular as derivadas parciais.
Derivada parcial em relação a
:
Derivada parcial em relação a
:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos resolvendo o sistema de equações:
Como
nunca é zero, podemos simplificar:
Resolvendo
:
E para
, temos duas possibilidades:
Porém, como
, a única solução que satisfaz ambas as equações é
.
Então, os pontos críticos são:
Passo 5
Para classificar esses pontos críticos, vamos usar o Teste da Segunda Derivada. Precisamos calcular as derivadas parciais segundas:
E então calcular o discriminante:
Dependendo do valor de
e de
, podemos determinar se temos um máximo local, mínimo local ou ponto de sela.
Passo 6
Vamos calcular as derivadas parciais segundas.
Segunda derivada em relação a
:
Aplicando a regra do produto:
Simplificando:
Segunda derivada em relação a
:
Simplificando:
Derivada mista:
Passo 7
Vamos avaliar essas derivadas nos pontos críticos
e
.
Para
:
Calculando o discriminante:
E como
, temos um máximo local nesse ponto.
Para
:
Os cálculos serão simétricos ao ponto anterior, já que a função é par em relação a .
Os cálculos serão simétricos ao ponto anterior, já que a função é par em relação a
Calculando o discriminante:
E como
, temos um mínimo local nesse ponto.
Resposta
A função
possui um máximo local no ponto
e um mínimo local no ponto
. Não há pontos de sela.