Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
\mathrm{BaTiO}_{3}
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O composto \mathrm{BaTiO}_{3} cristaliza no arranjo perovskita cúbico do tipo AB\mathrm{O}_{3}. Nesse modelo, o cátion B ( \mathrm{Ti}^{4+}) ocupa o centro do cubo e os íons \mathrm{O}^{2-} ficam nos centros das faces, de modo que a aresta da cela a satisfaz a condição geométrica da ligação B–O. Vamos usar os raios iônicos fornecidos e tratar íons como esferas rígidas para determinar (1) o parâmetro de rede a e (2) o fator de empacotamento, que é a razão entre o volume total das esferas iônicas contidas na cela e o volume da cela.

Passo 2

Na perovskita cúbica AB\mathrm{O}_{3}, a distância B–O é igual a metade da aresta do cubo. Como R_{B}=R_{\mathrm{Ti}^{4+}}=0{,}068\,\mathrm{nm} e R_{O}=0{,}140\,\mathrm{nm}, tem-se
\frac{a}{2}=R_{B}+R_{O}
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a=2\,(R_{B}+R_{O})=2\,(0{,}068+0{,}140)\,\mathrm{nm}=0{,}416\,\mathrm{nm}.

Passo 3

Para o fator de empacotamento calculamos o volume total ocupado pelos íons na cela e o dividimos pelo volume da cela. A cela contém
— 1 íon \mathrm{Ba}^{2+} (oito cantos, cada um contribui com 1/8)
— 1 íon \mathrm{Ti}^{4+} (centro do cubo)
— 3 íons \mathrm{O}^{2-} (seis faces, cada uma contribui com 1/2)
O volume de uma esfera de raio R é
V_{\text{esf}} = \frac{4}{3}\,\pi\,R^{3}.
Assim, o volume total de íons na cela é
V_{\text{íons}} =\frac{4}{3}\pi\bigl(R_{\mathrm{Ba}}^{3}+R_{\mathrm{Ti}}^{3}+3\,R_{O}^{3}\bigr).í
O volume da cela é
V_{\text{cela}}=a^{3}.
O fator de empacotamento é
\eta = \frac{V_{\text{íons}}}{V_{\text{cela}}}.í

Passo 4

Substituindo os valores numéricos:
R_{\mathrm{Ba}}=0{,}136\,\mathrm{nm},\quad R_{\mathrm{Ti}}=0{,}068\,\mathrm{nm},\quad R_{O}=0{,}140\,\mathrm{nm},\quad a=0{,}416\,\mathrm{nm},
V_{\text{íons}} =\frac{4}{3}\pi\bigl(0{,}136^{3}+0{,}068^{3}+3\cdot0{,}140^{3}\bigr)\,\mathrm{nm^{3}} \approx0{,}0464\,\mathrm{nm^{3}},í
V_{\text{cela}}=(0{,}416)^{3}\,\mathrm{nm^{3}} \approx0{,}0720\,\mathrm{nm^{3}},
\eta=\frac{0{,}0464}{0{,}0720}\approx0{,}64.

Resposta

O parâmetro de rede é
a = 0{,}416\,\mathrm{nm},
e o fator de empacotamento vale aproximadamente
\eta \approx 0{,}64.

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