Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
Metal CFC
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado pede o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento (atomic packing factor, APF) de um metal que cristaliza em estrutura cúbica de faces centradas (CFC, ou FCC em inglês). Para isso vamos usar a geometria da célula FCC, em que cada célula elementar contém 4 átomos efetivos de raio R.

Passo 2

Na estrutura CFC, as esferas tangenciam-se ao longo da face do cubo. Se R é o raio atômico, então na diagonal da face do cubo (de comprimento a\sqrt2) cabem dois raios:
a\sqrt2 \;=\; 4R
Logo,
a \;=\;\frac{4R}{\sqrt2} \;=\;2\sqrt2\,R.

Passo 3

O fator de empacotamento (APF) é a fração do volume da célula ocupada pelos átomos. Na célula FCC há 4 átomos por célula e o volume de cada átomo (esfera) é \tfrac{4}{3}\pi R^3. Assim,
\text{APF} =\frac{\text{volume de 4 esferas}}{\text{volume do cubo}} =\frac{4\;\times\;\tfrac{4}{3}\pi R^3}{a^3} =\frac{\tfrac{16}{3}\pi R^3}{\bigl(2\sqrt2\,R\bigr)^3} =\frac{\tfrac{16}{3}\pi R^3}{16\sqrt2\,R^3} =\frac{\pi}{3\sqrt2}.
Numericamente,
\frac{\pi}{3\sqrt2}\approx0,7405\quad(74,05\%).

Resposta

a) a = 2\sqrt2\,R.
b) Fator de empacotamento \displaystyle \text{APF}=\frac{\pi}{3\sqrt2}\approx0,7405.

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