Determine o parâmetro de rede e o fator de empacotamento das seguintes estruturas:
NaCl
Dados:
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^{+}}=0,102 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ba}^{+}}=0,136 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cl}}=0,181 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{cs}^{+}}=0,170 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{Ti}^{+}}=0,068 \mathrm{~nm}
\mathrm{R}_{\mathrm{o}}=0,140 \mathrm{~nm}

Passo 1

O enunciado pede o parâmetro de rede a e o fator de empacotamento (packing factor) da estrutura de NaCl, onde os íons \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^- são modelados como esferas rígidas que se tocam. O conteúdo é geometria de redes iônicas (estrutura halita), onde cada célula unitária cúbica simples contém 4 cátions e 4 ânions, e a distância \mathrm{Na}^+–\mathrm{Cl}^- ao longo da aresta vale \tfrac{a}{2}. Usaremos os raios
\mathrm{R}_{\mathrm{Na}^+}=0{,}102\\ \mathrm{nm} e
\mathrm{R}_{\mathrm{Cl}^-}=0{,}181\\ \mathrm{nm}.

Passo 2

Na estrutura halita a menor distância entre \mathrm{Na}^+ e \mathrm{Cl}^- é ao longo da aresta do cubo, valendo
\frac{a}{2} = R_{\mathrm{Na}^+} + R_{\mathrm{Cl}^-}.
Logo,
a = 2\bigl(R_{\mathrm{Na}^+} + R_{\mathrm{Cl}^-}\bigr) = 2\bigl(0{,}102 + 0{,}181\bigr)\,\mathrm{nm} = 2 \times 0{,}283\,\mathrm{nm} = 0{,}566\,\mathrm{nm}.

Passo 3

Cada célula unitária de NaCl contém 4 cátions \mathrm{Na}^+ e 4 ânions \mathrm{Cl}^-. O volume do cubo é
V_{\text{célula}} = a^3 = (0{,}566\\ \mathrm{nm})^3 = 0{,}1814\\ \mathrm{nm}^3.é

Passo 4

O volume total ocupado pelas esferas é
V_{\text{íons}} = 4\!\times\!\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{Na}^+}^3 +4\!\times\!\frac{4}{3}\pi R_{\mathrm{Cl}^-}^3.í
Calculando separadamente:
4\cdot\frac{4}{3}\pi(0{,}102)^3 \approx 0{,}01779\\ \mathrm{nm}^3, \quad 4\cdot\frac{4}{3}\pi(0{,}181)^3 \approx 0{,}09932\\ \mathrm{nm}^3,
portanto
V_{\text{íons}} \approx 0{,}01779 + 0{,}09932 = 0{,}11711\\ \mathrm{nm}^3.í

Passo 5

O fator de empacotamento é a razão entre o volume das esferas e o volume da célula:
\text{PF} = \frac{V_{\text{íons}}}{V_{\text{célula}}} = \frac{0{,}11711}{0{,}1814} \approx 0{,}646 \quad(\text{ou }64{,}6\%).íé

Resposta

Parâmetro de rede: a = 0{,}566\\ \mathrm{nm}.
Fator de empacotamento: \mathrm{PF} \approx 0{,}646 (64,6%).

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