Seja f(z) uma função analítica e diferente de zero no ponto z=z0. Mostre que a função g(z)= f(z) /(z-z0) tem pólo simples nesse ponto, com resíduo igual a f(z0).

Passo 1

O enunciado diz que f(z) é analítica e não nula em z=z0 e define
g(z)=f(z)z-z0
Queremos mostrar que g tem um polo simples em z0 e que
Resz=z0,g(z)=f(z0)

Passo 2

Como f é analítica em z0, ela admite expansão de Taylor em torno de z0:
f(z)=sumn=0^inftyan,(z-z0)^n,
onde a0=f(z0).

Passo 3

Divide-se essa série por (z-z0) para obter a expansão de Laurent de g:
g(z)=f(z)z-z0 =sumn=0^inftyan,(z-z0)^n-1 =a0(z-z0)^-1+sumn=1^inftyan,(z-z0)^n-1

Passo 4

Na expansão de Laurent de g, o único termo singular é
a0(z-z0)^-1,
o que caracteriza um polo de ordem 1 em z0. O resíduo é o coeficiente desse termo, isto é
Resz=z0,g(z)=a0=f(z0)

Resposta

A função g tem um polo simples em z0 e
Resz=z0,g(z)=f(z0)

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