Seja
uma função analítica e diferente de zero no ponto
. Mostre que a função
tem pólo simples nesse ponto, com resíduo igual a
.
Passo 1
O enunciado diz que
é analítica e não nula em
e define
Queremos mostrar que
tem um polo simples em
e que
Passo 2
Como
é analítica em
, ela admite expansão de Taylor em torno de
:
onde
.
Passo 3
Divide-se essa série por
para obter a expansão de Laurent de
:
Passo 4
Na expansão de Laurent de
, o único termo singular é
o que caracteriza um polo de ordem
em
. O resíduo é o coeficiente desse termo, isto é
Resposta
A função
tem um polo simples em
e