Sejam p(z) e q(z) funções regulares no ponto z0, p(z0) neq 0, q(z0)=0 e q^prime(z0) neq 0. Mostre que z0 é pólo simples da função f(z)=p(z) / q(z), com resíduo igual a p(z0) / q^prime(z0).

Passo 1

O enunciado diz que p e q são funções analíticas (regulares) num entorno de um ponto z0, com
p(z0)neq 0, q(z0)=0, q'(z0)neq 0,
e pede para mostrar que
  1. f(z)=p(z)q(z) tem um polo simples em z0,
  2. o resíduo de f em z0 é p(z0)q'(z0).
    Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor de p e q ao redor de z0 e extrair o termo principal da expansão de Laurent de f.

Passo 2

Como q é analítica em z0 e q(z0)=0 mas q'(z0)neq 0, sabemos que q tem um zero simples em z0. Logo sua expansão de Taylor é
q(z)=q'(z0),(z-z0) + sumn=2^infty an(z-z0)^n,
onde an=tfracq^(n)(z0)n!. Assim, para z suficientemente próximo de z0,
q(z)=(z-z0)l[q'(z0) + h(z)r],
com h(z) analítica em z0 e h(z0)=0.

Passo 3

De modo análogo, como p é analítica em z0 e p(z0)neq 0, sua expansão de Taylor é
p(z)=p(z0) + sumn=1^infty bn(z-z0)^n,
com bn=tfracp^(n)(z0)n!. Em particular p(z0) é a parte constante não nula.

Passo 4

Agora escrevemos
f(z)=p(z)q(z) =p(z0) + sumn=1^infty bn(z-z0)^n (z-z0)l[q'(z0) + h(z)r]
Podemos separar
f(z) =p(z0)q'(z0),1z-z0 ;cdot; 1 + 1p(z0)sumn=1^infty bn(z-z0)^n 1 + h(z)q'(z0)
A fração à direita é analítica em z0 e vale 1 para z=z0. Portanto f possui uma expansão de Laurent cujo único termo singular é
p(z0)q'(z0),1z-z0,
ou seja, z0 é polo de ordem 1 (polo simples) e o coeficiente desse termo 1z-z0 é exatamente o resíduo.

Resposta

O ponto é um polo simples de e o resíduo em é

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