Sejam
e
funções regulares no ponto
e
. Mostre que
é pólo simples da função
, com resíduo igual a
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são funções analíticas (regulares) num entorno de um ponto
, com
e pede para mostrar que
-
tem um polo simples em , - o resíduo de
em é .
Para isso vamos usar a expansão em série de Taylor dee ao redor de e extrair o termo principal da expansão de Laurent de .
Passo 2
Como
é analítica em
e
mas
, sabemos que
tem um zero simples em
. Logo sua expansão de Taylor é
onde
. Assim, para
suficientemente próximo de
,
com
analítica em
e
.
Passo 3
De modo análogo, como
é analítica em
e
, sua expansão de Taylor é
com
. Em particular
é a parte constante não nula.
Passo 4
Agora escrevemos
Podemos separar
A fração à direita é analítica em
e vale
para
. Portanto
possui uma expansão de Laurent cujo único termo singular é
ou seja,
é polo de ordem 1 (polo simples) e o coeficiente desse termo
é exatamente o resíduo.
Resposta
O ponto
é um polo simples de
e o resíduo em
é