Determine as partes real e imaginária da função dada.
w=e^{z}(z-\imath)

Passo 1

O enunciado pede pra quebrar a função complexa w=e^z(z-imath) em suas partes real e imaginária. Isso é conteúdo de funções de variável complexa: vamos escrever z=x+imath y, usar a fórmula de Euler pra e^z e depois multiplicar e agrupar termos reais e imaginários.

Passo 2

Primeiro, escrevemos z em termos de x e y e subtraímos imath. Assim: z=x+imath y
z-imath = x+imath y - imath = x + imath (y-1)

Passo 3

Em seguida, aplicamos a fórmula de Euler para e^z. Como z=x+imath y, temos
e^z = e^x+imath y = e^x,e^imath y = e^xl(cos y + imath sin yr)

Passo 4

Agora multiplicamos e^z por z-imath:
w = e^xl(cos y + imath sin yr)l(x + imath(y-1)r)

Passo 5

Vamos expandir o produto interno sem o fator e^x primeiro:
(cos y + imath sin y)(x + imath(y-1)) = xcos y + imath (y-1)cos y + imath xsin y + imath^2 (y-1)sin y
Como imath^2=-1, isso vira
$$ = x\cos y - (y-1)\sin y ;+
; \imath\bigl(x\sin y + (y-1)\cos y\bigr).$$

Passo 6

Finalmente, recolocamos o fator e^x e identificamos as partes real e imaginária:
u(x,y) = e^xl(xcos y - (y-1)sin yr),
v(x,y) = e^xl(xsin y + (y-1)cos yr)

Resposta

u(x,y) = e^{x}\bigl(x\cos y - (y-1)\sin y\bigr), v(x,y) = e^{x}\bigl(x\sin y + (y-1)\cos y\bigr)

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