Determine as partes real e imaginária da função dada.
w=e^{z}(z-\imath)
w=e^{z}(z-\imath)
Passo 1
O enunciado pede pra quebrar a função complexa
em suas partes real e imaginária. Isso é conteúdo de funções de variável complexa: vamos escrever
, usar a fórmula de Euler pra
e depois multiplicar e agrupar termos reais e imaginários.
Passo 2
Primeiro, escrevemos
em termos de
e
e subtraímos
. Assim:
dá
Passo 3
Em seguida, aplicamos a fórmula de Euler para
. Como
, temos
Passo 4
Agora multiplicamos
por
:
Passo 5
Vamos expandir o produto interno sem o fator
primeiro:
Como
$$ = x\cos y - (y-1)\sin y ;+
; \imath\bigl(x\sin y + (y-1)\cos y\bigr).$$
Passo 6
Finalmente, recolocamos o fator
e identificamos as partes real e imaginária:
Resposta
u(x,y) = e^{x}\bigl(x\cos y - (y-1)\sin y\bigr), v(x,y) = e^{x}\bigl(x\sin y + (y-1)\cos y\bigr)