Determine as partes real e imaginária da função dada.
w=z+2z-2

Passo 1

O enunciado pede para determinar as partes real e imaginária da função de variável complexa definida por w=z+2z-2. O conteúdo é separação de uma função complexa em termos de x e y, e vamos precisar usar a técnica de multiplicar pelo conjugado do denominador.

Passo 2

Escrevemos z=x+iy com x,yin R. Então
w=(x+2)+i,y(x-2)+i,y

Passo 3

Para separar em parte real e imaginária, multiplicamos numerador e denominador pelo conjugado de (x-2)+i,y, que é (x-2)-i,y:
w=[(x+2)+i,y][(x-2)-i,y](x-2)^2+y^2

Passo 4

Agora expandimos o numerador:
[(x+2)+i,y][(x-2)-i,y]=(x+2)(x-2)-i,y(x+2)+i,y(x-2)-i^2y^2

Passo 5

Como (x+2)(x-2)=x^2-4 e -i^2y^2=+y^2, e combinando os termos imaginários:
numerador=x^2+y^2-4-4i,y

Passo 6

Logo
w=x^2+y^2-4(x-2)^2+y^2+i-4y(x-2)^2+y^2

Passo 7

Daqui identificamos a parte real u(x,y) e a parte imaginária v(x,y).

Resposta

A parte real é u(x,y)=dfracx^2+y^2-4(x-2)^2+y^2 e a parte imaginária é v(x,y)=dfrac-4y(x-2)^2+y^2.

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