Determine partial fpartial x e partial fpartial y sendo f(x, y)=rllx^3 yx^6+y^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0).
Resposta: partial fpartial x(x, y) rll3 x^2 y^3-3 x^8 y(x^6+y^2)^2, & se & (x, y) neq(0,0) 0, & se & (x, y)=(0,0)

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= dfracx^3 yx^6 + y^2, & (x,y) neq (0,0), 0, & (x,y) = (0,0),
e pede partial fpartial x e partial fpartial y. Para (x,y) neq (0,0) vamos usar a regra do quociente; em (0,0) usamos a definição de derivada parcial via limite de diferença quociente.

Passo 2

Para (x,y)neq(0,0), usando a regra do quociente com u(x,y)=x^3y e v(x,y)=x^6+y^2, temos
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2 =(3x^2y)(x^6+y^2)-x^3y,(6x^5)(x^6+y^2)^2 =3x^8y+3x^2y^3-6x^8y(x^6+y^2)^2 =3x^2y^3-3x^8y(x^6+y^2)^2

Passo 3

Para (x,y)neq(0,0), aplicando a regra do quociente em y, com uy=x^3 e vy=2y, obtemos
partial fpartial y =x^3(x^6+y^2)-x^3y,(2y)(x^6+y^2)^2 =x^9+x^3y^2-2x^3y^2(x^6+y^2)^2 =x^9-x^3y^2(x^6+y^2)^2

Passo 4

Em (0,0), pela definição
partial fpartial x(0,0) =limhto0f(h,0)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Passo 5

Análogo para y:
partial fpartial y(0,0) =limhto0f(0,h)-f(0,0)h =limhto00-0h =0

Resposta

partial fpartial x(x,y) = dfrac3 x^2 y^3 - 3 x^8 y(x^6 + y^2)^2, & (x,y) neq (0,0), 0, & (x,y) = (0,0),
partial fpartial y(x,y) = dfracx^9 - x^3 y^2(x^6 + y^2)^2, & (x,y) neq (0,0), 0, & (x,y) = (0,0)

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