e pede partial fpartial x e partial fpartial y. Para (x,y) neq (0,0) vamos usar a regra do quociente; em (0,0) usamos a definição de derivada parcial via limite de diferença quociente.
Passo 2
Para (x,y)neq(0,0), usando a regra do quociente com u(x,y)=x^3y e v(x,y)=x^6+y^2, temos
partial fpartial x =ux,v - u,vxv^2 =(3x^2y)(x^6+y^2)-x^3y,(6x^5)(x^6+y^2)^2 =3x^8y+3x^2y^3-6x^8y(x^6+y^2)^2 =3x^2y^3-3x^8y(x^6+y^2)^2
Passo 3
Para (x,y)neq(0,0), aplicando a regra do quociente em y, com uy=x^3 e vy=2y, obtemos
partial fpartial y =x^3(x^6+y^2)-x^3y,(2y)(x^6+y^2)^2 =x^9+x^3y^2-2x^3y^2(x^6+y^2)^2 =x^9-x^3y^2(x^6+y^2)^2