Um projeto de motor a combustão interna tem seu deslocamento vertical
(em metros) dado pela função:
onde té o tempo em segundos.
a) o que a derivada dessa função significa?
b) Suponha que a velocidade máxima permitida para o pistão seja
, verifique se o projeto atual atende essa especificação.
a) o que a derivada dessa função significa?
b) Suponha que a velocidade máxima permitida para o pistão seja
Passo 1
Beleza, o exercício mostra a posição vertical do pistão de um motor dada por
e pede duas coisas:
a) entender o que a derivada dessa função significa;
b) verificar se a velocidade do pistão nunca passa de 5 m/s.
O conteúdo aqui é cálculo de derivada (regra de potência), interpretação física (derivada = velocidade instantânea) e resolução de inequação do 2º grau pra comparar com 5 m/s.
a) entender o que a derivada dessa função significa;
b) verificar se a velocidade do pistão nunca passa de 5 m/s.
O conteúdo aqui é cálculo de derivada (regra de potência), interpretação física (derivada = velocidade instantânea) e resolução de inequação do 2º grau pra comparar com 5 m/s.
Passo 2
O que a derivada significa?
– Em cálculo, derivar uma função dá a taxa de variação instantânea de
em relação a
.
– No nosso caso, é deslocamento (metros) e
é tempo (segundos), então a derivada
é a velocidade instantânea do pistão (m/s).
– Em cálculo, derivar uma função
– No nosso caso,
Passo 3
Vamos calcular a derivada usando a regra de potência
:
Ou seja, a velocidade instantânea é
Passo 4
Queremos ver se
fica sempre abaixo de 5 m/s. Montamos a inequação:
Passo a passo:
- Subtrai 5 dos dois lados:
- Para resolver uma inequação quadrática, primeiro achamos as raízes da equação associada
:
- Calcula o discriminante
- As raízes são
Numericamente isso dá
- Como o coeficiente de
é positivo (1,5), a parábola abre para cima e a região onde é entre as raízes:
- Na prática
, então a velocidade fica apenas enquanto
Depois de aproximadamente 3,1 s,
ultrapassa 5 m/s.
Resposta
a) A derivada
é a velocidade instantânea do pistão em m/s.
b) Calculamos
b) Calculamos
e achamos que
só até
s. Ou seja, se o pistão trabalhar por mais de 3,1 s, a velocidade passa de 5 m/s, então o projeto não atende à especificação de manter sempre
m/s.