Um projeto de motor a combustão interna tem seu deslocamento vertical y(t) (em metros) dado pela função:
y(t)=0,5 t^3-2 t^2+3 t+0,2
onde té o tempo em segundos.
a) o que a derivada dessa função significa?
b) Suponha que a velocidade máxima permitida para o pistão seja 5 m / s, verifique se o projeto atual atende essa especificação.

Passo 1

Beleza, o exercício mostra a posição vertical do pistão de um motor dada por
y(t)=0,5,t^3-2,t^2+3,t+0,2
e pede duas coisas:
a) entender o que a derivada dessa função significa;
b) verificar se a velocidade do pistão nunca passa de 5 m/s.
O conteúdo aqui é cálculo de derivada (regra de potência), interpretação física (derivada = velocidade instantânea) e resolução de inequação do 2º grau pra comparar com 5 m/s.

Passo 2

O que a derivada significa?
– Em cálculo, derivar uma função y(t) dá a taxa de variação instantânea de y em relação a t.
– No nosso caso, y(t) é deslocamento (metros) e t é tempo (segundos), então a derivada y'(t) é a velocidade instantânea do pistão (m/s).

Passo 3

Vamos calcular a derivada usando a regra de potência ddt[t^n]=n,t^n-1:
y(t)=0,5,t^3-2,t^2+3,t+0,2 Longrightarrow y'(t)=1,5,t^2-4,t+3
Ou seja, a velocidade instantânea é
v(t)=y'(t)=1,5,t^2-4,t+3(m/s)

Passo 4

Queremos ver se v(t) fica sempre abaixo de 5 m/s. Montamos a inequação:
1,5,t^2-4t+3;<=;5
Passo a passo:
  1. Subtrai 5 dos dois lados:
1,5,t^2-4t+3-5<=0 ;Longrightarrow; 1,5,t^2-4t-2<=0
  1. Para resolver uma inequação quadrática, primeiro achamos as raízes da equação associada 1,5t^2-4t-2=0:
  • Calcula o discriminante De<a=b^2-4ac=(-4)^2-4(1,5)(-2)=16+12=28
  • As raízes são
t=4pmraiz282cdot1,5 =4pm2raiz73
Numericamente isso dá
t1=4-2raiz73approx-0,43, t2=4+2raiz73approx3,10
  1. Como o coeficiente de t^2 é positivo (1,5), a parábola abre para cima e a região onde 1,5t^2-4t-2<=0 é entre as raízes:
-0,43<= t<=3,10
  1. Na prática t>=0, então a velocidade fica <=5 apenas enquanto
0<= t<=3,10 s
Depois de aproximadamente 3,1 s, v(t) ultrapassa 5 m/s.

Resposta

a) A derivada y'(t) é a velocidade instantânea do pistão em m/s.
b) Calculamos
v(t)=y'(t)=1,5t^2-4t+3
e achamos que v(t)<=5 só até tapprox3,10 s. Ou seja, se o pistão trabalhar por mais de 3,1 s, a velocidade passa de 5 m/s, então o projeto não atende à especificação de manter sempre v<=5 m/s.

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