Determine
e
a partir das seguintes condições de contorno
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar a função
, que descreve a posição em função do tempo, e também calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função no tempo inicial
, ou seja,
e
. As condições que a gente tem são:
-
: A posição inicial é zero. -
: A velocidade inicial é negativa e igual a .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre derivadas e condições iniciais de movimento. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, vamos pensar na função
. Como estamos lidando com derivadas, uma forma comum de representar
é usando uma função polinomial. Vamos supor que
seja uma função do tipo:
Mas para simplificar, vamos considerar até o termo de
. Então, nossa função fica:
Onde
e
são constantes que vamos determinar usando as condições dadas.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira derivada de
, que representa a velocidade
:
E a segunda derivada, que é a aceleração
:
Passo 4
Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes
e
.
Primeiro, sabemos que
. Substituindo
na função
:
Isto nos diz que a condição inicial é satisfeita para qualquer
e
, então precisamos usar a próxima condição para determinar os valores.
Passo 5
A próxima condição é sobre a velocidade inicial:
.
Substituindo
na expressão da velocidade:
Então, encontramos que
.
Passo 6
Agora, com
, podemos reescrever a função
:
Para determinar
, precisamos de mais informações, geralmente relacionadas à aceleração ou a outra condição. Como a questão não fornece mais, vamos assumir que a aceleração inicial
pode ser determinada diretamente.
Passo 7
A aceleração inicial
já calculamos como
. Se não houver mais condições, podemos expressar
em termos de
:
Sem mais informações, essa é a relação que temos.
Resposta
A função posição é dada por:
As derivadas no tempo inicial são: