Determine x(t), dotx(0) e ddotx(0) a partir das seguintes condições de contorno
x(0)=0 ; dotx(0)=-vmax =-w L

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que determinar a função x(t) , que descreve a posição em função do tempo, e também calcular a primeira e a segunda derivadas dessa função no tempo inicial t = 0 , ou seja, dotx(0) e ddotx(0) . As condições que a gente tem são:
  • x(0) = 0 : A posição inicial é zero.
  • dotx(0) = -vmax = -wL : A velocidade inicial é negativa e igual a -wL .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo sobre derivadas e condições iniciais de movimento. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, vamos pensar na função x(t) . Como estamos lidando com derivadas, uma forma comum de representar x(t) é usando uma função polinomial. Vamos supor que x(t) seja uma função do tipo:
x(t) = at + bt^2 + ct^3 + dots
Mas para simplificar, vamos considerar até o termo de t^2 . Então, nossa função fica:
x(t) = at + bt^2
Onde a e b são constantes que vamos determinar usando as condições dadas.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira derivada de x(t) , que representa a velocidade dotx(t) :
dotx(t) = dxdt = a + 2bt
E a segunda derivada, que é a aceleração ddotx(t) :
ddotx(t) = ddotxdt = 2b

Passo 4

Vamos aplicar as condições iniciais para encontrar as constantes a e b .
Primeiro, sabemos que x(0) = 0 . Substituindo t = 0 na função x(t) :
x(0) = a cdot 0 + b cdot 0^2 = 0
Isto nos diz que a condição inicial é satisfeita para qualquer a e b , então precisamos usar a próxima condição para determinar os valores.

Passo 5

A próxima condição é sobre a velocidade inicial: dotx(0) = -wL .
Substituindo t = 0 na expressão da velocidade:
dotx(0) = a + 2b cdot 0 = a = -wL
Então, encontramos que a = -wL .

Passo 6

Agora, com a = -wL , podemos reescrever a função x(t) :
x(t) = -wL t + bt^2
Para determinar b , precisamos de mais informações, geralmente relacionadas à aceleração ou a outra condição. Como a questão não fornece mais, vamos assumir que a aceleração inicial ddotx(0) pode ser determinada diretamente.

Passo 7

A aceleração inicial ddotx(0) já calculamos como 2b . Se não houver mais condições, podemos expressar b em termos de ddotx(0) :
2b = ddotx(0) implies b = ddotx(0)2
Sem mais informações, essa é a relação que temos.

Resposta

A função posição é dada por:
x(t) = -wL t + ddotx(0)2 t^2
As derivadas no tempo inicial são:
dotx(0) = -wL
ddotx(0) = 2b

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