Determine x(t), dotx(0) e ddotx(0) a partir das seguintes condições de contorno
x(0)=raiz32 L ; dotx(0)=vmax 2=w L2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos que encontrar a função posição x(t) , a velocidade inicial dotx(0) e a aceleração inicial ddotx(0) de um sistema, com as seguintes condições de contorno:
  • x(0) = raiz32 L
  • dotx(0) = vmax2 = w L2
Vamos precisar usar conhecimentos de movimento harmônico simples (MHS) para resolver isso.

Passo 2

No movimento harmônico simples, a posição em função do tempo é dada por:
x(t) = A cos(omega t) + B sin(omega t)
Aqui, A e B são constantes que determinamos com base nas condições iniciais, e omega é a frequência angular.

Passo 3

Vamos aplicar a primeira condição de contorno, x(0) = raiz32 L . Substituindo t = 0 na equação de x(t) :
x(0) = A cos(0) + B sin(0) Rightarrow raiz32 L = A cdot 1 + B cdot 0 Rightarrow A = raiz32 L

Passo 4

Agora, vamos derivar x(t) para encontrar a velocidade:
dotx(t) = -A omega sin(omega t) + B omega cos(omega t)
Aplicando a condição dotx(0) = w L2 :
dotx(0) = -A omega cdot 0 + B omega cdot 1 = B omega = w L2 Rightarrow B = w L2 omega

Passo 5

Agora que temos A e B , podemos escrever a expressão completa para x(t) :
x(t) = raiz32 L cos(omega t) + w L2 omega sin(omega t)

Passo 6

Para encontrar a aceleração ddotx(0) , vamos derivar novamente a velocidade:
ddotx(t) = -A omega^2 cos(omega t) - B omega^2 sin(omega t)
Aplicando t = 0 :
ddotx(0) = -A omega^2 cdot 1 - B omega^2 cdot 0 = -A omega^2 = -raiz32 L omega^2

Resposta

A solução para o sistema é:
x(t) = raiz32 L cos(omega t) + w L2 omega sin(omega t)
A velocidade inicial é:
dotx(0) = w L2
E a aceleração inicial é:
ddotx(0) = -raiz32 L omega^2

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