Determine x(t), dotx(0) e ddotx(0) a partir das seguintes condições de contorno
x(0)=raiz2 L2 ; dotx(0)=-vmax raiz22=-w L raiz22

Passo 1

O enunciado trata de um Movimento Harmônico Simples (MHS) com amplitude L e pulsação omega. A solução geral para a posição é
x(t)=Acosl(omega t+varphir),
e sabemos as condições iniciais em t=0:
x(0)=raiz2,L2, dot x(0)=-omega,Lraiz22
Vamos usar essas condições para determinar A e varphi, depois montar x(t) e calcular ddot x(0).

Passo 2

Em t=0 a posição e a velocidade valem
x(0)=Acosvarphi=raiz2,L2, dot x(0)=-A,omegasinvarphi=-omega,Lraiz22
Da primeira igualdade temos
Acosvarphi=raiz2,L2,
e da segunda
Asinvarphi=Lraiz22

Passo 3

Dividindo as duas expressões achamos
tanvarphi =AsinvarphiAcosvarphi =Lraiz22Lraiz22 =1 Longrightarrow varphi=pi4
Substituindo varphi em Acosvarphi=raiz2,L2
Acdotraiz22=raiz2,L2 Longrightarrow A=L
Logo a solução completa é
x(t)=Lcos!l(omega t+tfracpi4r),
e de imediato confirmamos
dot x(0)=-omega,Lsin!l(tfracpi4r) =-omega,Lraiz22

Passo 4

A aceleração é
ddot x(t)=-omega^2,Lcos!l(omega t+tfracpi4r),
portanto em t=0
ddot x(0) =-omega^2,Lcos!l(tfracpi4r) =-omega^2,Lraiz22

Resposta

x(t)=Lcos!l(omega t+tfracpi4r),
dot x(0)=-omega,Lraiz22,
ddot x(0)=-omega^2,Lraiz22

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