Determine o que se pede:
Considere a função f(x, y)=4 x^{2}+9 y^{2}. Esboce um mapa de contorno de f, mostrando as curvas de nível de f em k=4,9 e 36.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=4x^2+9y^2 e pede o esboço do mapa de contorno para os níveis k=4, 9 e 36. O conteúdo aqui é curvas de nível, definidas por f(x,y)=k, que resultarão em elipses centradas na origem. Para resolver, vamos reescrever cada nível na forma padrão de elipse e calcular seus interceptos com os eixos.

Passo 2

Escrevemos a equação geral das curvas de nível:
4x^2 + 9y^2 = k.
Dividindo ambos os lados por k, obtemos
\frac{x^2}{\,k/4\,} \;+\;\frac{y^2}{\,k/9\,} \;=\;1,
que é a equação de uma elipse com semi-eixo em x de \sqrt{k/4} e em y de \sqrt{k/9}.

Passo 3

Calculamos os semi-eixos e interceptos para cada valor de k:
Para k=4: \sqrt{\tfrac{4}{4}}=1, \sqrt{\tfrac{4}{9}}=\tfrac{2}{3}.
Interceptos: (\pm1,0) e \bigl(0,\pm\tfrac{2}{3}\bigr).
Para k=9: \sqrt{\tfrac{9}{4}}=\tfrac{3}{2}, \sqrt{\tfrac{9}{9}}=1.
Interceptos: \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr) e (0,\pm1).
Para k=36: \sqrt{\tfrac{36}{4}}=3, \sqrt{\tfrac{36}{9}}=2.
Interceptos: (\pm3,0) e (0,\pm2).

Passo 4

No esboço, desenhamos três elipses concêntricas, todas centradas na origem e alinhadas aos eixos x e y. A menor (para k=4) passa por (\pm1,0) e \bigl(0,\pm\tfrac{2}{3}\bigr); a do meio (para k=9) por \bigl(\pm\tfrac{3}{2},0\bigr) e (0,\pm1); e a maior (para k=36) por (\pm3,0) e (0,\pm2). Conforme k cresce, as elipses aumentam de tamanho mantendo o mesmo formato.

Resposta

As curvas de nível são as elipses
4x^2+9y^2=4,\quad 4x^2+9y^2=9,\quad 4x^2+9y^2=36,
com interceptos nos eixos:
(\pm1,0),\;(0,\pm\tfrac{2}{3});\quad (\pm\tfrac{3}{2},0),\;(0,\pm1);\quad (\pm3,0),\;(0,\pm2),
respectivamente. No esboço, basta traçar essas três elipses concêntricas centradas na origem.

Exercícios relacionados