Determine o que se pede:
Considere a função
. Esboce um mapa de contorno de
, mostrando as curvas de nível de
em
.
Considere a função
Passo 1
O enunciado nos dá a função
e pede o esboço do mapa de contorno para os níveis
,
e
. O conteúdo aqui é curvas de nível, definidas por
, que resultarão em elipses centradas na origem. Para resolver, vamos reescrever cada nível na forma padrão de elipse e calcular seus interceptos com os eixos.
Passo 2
Escrevemos a equação geral das curvas de nível:
Dividindo ambos os lados por
, obtemos
que é a equação de uma elipse com semi-eixo em
de
e em
de
.
Passo 3
Calculamos os semi-eixos e interceptos para cada valor de
:
Para
:
,
.
Interceptos: e
.
Interceptos:
Para
:
,
.
Interceptos: e
.
Interceptos:
Para
:
,
.
Interceptos: e
.
Interceptos:
Passo 4
No esboço, desenhamos três elipses concêntricas, todas centradas na origem e alinhadas aos eixos
e
. A menor (para
) passa por
e
; a do meio (para
) por
e
; e a maior (para
) por
e
. Conforme
cresce, as elipses aumentam de tamanho mantendo o mesmo formato.
Resposta
As curvas de nível são as elipses
com interceptos nos eixos:
respectivamente. No esboço, basta traçar essas três elipses concêntricas centradas na origem.