Questão 3. Calcule a transformada de Laplace F(s) das seguintes f:[0, x) \longrightarrow \mathbb{R} ou \mathbb{C} :
f(t)=2 t^{2}+3 t+5 (1.0 text { pts })

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace da função
f(t)=2t^{2}+3t+5
definida em [0,\infty). O conteúdo é a definição da transformada de Laplace
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt
e a propriedade da linearidade para decompor f(t).

Passo 2

Pela linearidade da transformada de Laplace, temos
F(s)=\mathcal{L}\{2t^{2}+3t+5\}(s) =2\,\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)+3\,\mathcal{L}\{t\}(s)+5\,\mathcal{L}\{1\}(s).

Passo 3

Recordando as transformadas-padrão:
\mathcal{L}\{t^{n}\}(s)=\frac{n!}{s^{n+1}},\quad \mathcal{L}\{1\}(s)=\frac{1}{s},
portanto
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)=\frac{2!}{s^{3}}=\frac{2}{s^{3}}, \quad \mathcal{L}\{t\}(s)=\frac{1!}{s^{2}}=\frac{1}{s^{2}}.

Passo 4

Substituindo no somatório:
F(s) =2\cdot\frac{2}{s^{3}} +3\cdot\frac{1}{s^{2}} +5\cdot\frac{1}{s} =\frac{4}{s^{3}}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{5}{s}.

Resposta

F(s)=\frac{4}{s^{3}}+\frac{3}{s^{2}}+\frac{5}{s},\quad s>0.

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