5- Usando a definição de derivada, calcule:
f^{\prime}(2)
para
f(x)=x^{2}+3

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada de f(x)=x^{2}+3 no ponto x=2 usando a definição de derivada. O conteúdo teórico é o seguinte:
A derivada de f em a é
f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.

Passo 2

Aplicamos a definição em a=2:
f'(2)=\lim_{h\to0}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}.
Como f(x)=x^{2}+3, temos
f(2+h)=(2+h)^{2}+3 \quad\text{e}\quad f(2)=2^{2}+3=7.

Passo 3

Calculamos o quociente de diferenças:
\frac{f(2+h)-f(2)}{h} =\frac{\bigl((2+h)^{2}+3\bigr)-7}{h} =\frac{4+4h+h^{2}+3-7}{h} =\frac{4h+h^{2}}{h} =4+h.
Agora tomamos o limite quando h\to0:
f'(2)=\lim_{h\to0}(4+h)=4.

Resposta

4

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