Questão 3. Calcule a transformada de Laplace F(s) das seguintes f:[0, x) \longrightarrow \mathbb{R} ou \mathbb{C} :
f(t)=\operatorname{cosh} (5 t)=\frac{e^{5 t}+e^{-5 t}}{2}

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\operatorname{cosh}(5t)=\frac{e^{5t}+e^{-5t}}{2}.
O conteúdo envolvido é a definição
F(s)=\mathcal{L}\{f\}(s)=\int_{0}^{\infty}f(t)\,e^{-st}\,dt
e a propriedade de linearidade, além da transformada de e^{at}.

Passo 2

Começamos aplicando a definição e a expansão de \operatorname{cosh}:
F(s) =\int_{0}^{\infty}\operatorname{cosh}(5t)\,e^{-st}\,dt =\frac{1}{2}\int_{0}^{\infty}\bigl(e^{5t}+e^{-5t}\bigr)e^{-st}\,dt.

Passo 3

Usamos linearidade para separar em duas integrais:
F(s) =\frac{1}{2}\Bigl[\int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt +\int_{0}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt\Bigr].
Sabemos que, para \Re(s)>5,
\int_{0}^{\infty}e^{-(s-5)t}\,dt=\frac{1}{s-5}, \quad \int_{0}^{\infty}e^{-(s+5)t}\,dt=\frac{1}{s+5}.

Passo 4

Substituindo e simplificando:
F(s) =\frac{1}{2}\Bigl(\frac{1}{s-5}+\frac{1}{s+5}\Bigr) =\frac{(s+5)+(s-5)}{2\,(s-5)(s+5)} =\frac{2s}{2\,(s^2-25)} =\frac{s}{s^2-25}.

Resposta

F(s)=\frac{s}{s^2-25},\qquad \Re(s)>5.

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