Determine o que se pede:
Considere a região R do plano limitada pelas curvas y=x^{3} e y=x.
  • Esboce graficamente a região R
  • Determine o valor da área limitada pelas linhas.

Passo 1

O enunciado pede para desenhar a região R limitada pelas curvas
y = x^3
e
y = x
e, em seguida, calcular a área dessa região. O conteúdo envolvido é cálculo de área entre duas curvas: identificamos os pontos de interseção, determinamos qual função está acima em cada intervalo e integramos a diferença.

Passo 2

Para encontrar os pontos em que as duas curvas se cruzam, resolvemos
x^3 = x
x\,(x^2 - 1) = 0
Logo, as raízes são
x = -1,\quad x = 0,\quad x = 1.

Passo 3

Precisamos saber qual curva está “por cima” em cada intervalo:
  • Em x\in[-1,0]: escolha um ponto, por exemplo x=-\tfrac12. Tem x^3 = -\tfrac18 e x = -\tfrac12, logo -\tfrac18 > -\tfrac12. Assim, em [-1,0] a curva y=x^3 fica acima de y=x.
  • Em x\in[0,1]: escolha x=\tfrac12. Tem x^3=\tfrac18 e x=\tfrac12, logo \tfrac12>\tfrac18. Assim, em [0,1] a curva y=x fica acima de y=x^3.

Passo 4

A área procurada é a soma das áreas entre as duas curvas nos dois subintervalos:
\text{Área} = \int_{-1}^{0}\bigl(x^3 - x\bigr)\,dx \;+\;\int_{0}^{1}\bigl(x - x^3\bigr)\,dx.Á
Calculemos cada integral:
\int (x^3 - x)\,dx = \frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2},
\int_{-1}^{0}(x^3 - x)\,dx = \Bigl[\frac{x^4}{4} - \frac{x^2}{2}\Bigr]_{-1}^{0} = \bigl(0-0\bigr) - \Bigl(\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{2}\Bigr) = \tfrac{1}{4}.
\int (x - x^3)\,dx = \frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4},
\int_{0}^{1}(x - x^3)\,dx = \Bigl[\frac{x^2}{2} - \frac{x^4}{4}\Bigr]_{0}^{1} = \bigl(\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{4}\bigr) - 0 = \tfrac{1}{4}.

Passo 5

Somando as duas partes, a área total é
\frac{1}{4} + \frac{1}{4} = \frac{1}{2}.

Resposta

O esboço de R mostra as curvas passando por (-1,-1), (0,0) e (1,1), com y=x^3 acima de y=x em [-1,0] e y=x acima de y=x^3 em [0,1].
A área da região é \displaystyle \frac{1}{2}.

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