Questão 4. Seja dada a transformada de Laplace
(1) Calcule valores A e B tal que F(s)=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s+2}
(2) Qual é a funçao f(1) que possue F(s) como transformade ( \mathbf{1 . 5} \mathbf{~ p t} )
F(s)=\frac{s+3}{s^{2}-3 s+2}

Passo 1

O enunciado dá a transformada de Laplace
F(s)=\frac{s+3}{s^{2}-3s+2}
e pede (1) a decomposição em frações parciais da forma \frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2} e (2) a função f(t) cuja transformada de Laplace é F(s). Vamos usar (i) fatoração do denominador, (ii) método de coeficientes indeterminados e (iii) tabela de transformadas inversas básicas.

Passo 2

Primeiro fatoramos o denominador:
s^{2}-3s+2=(s-1)(s-2).
Logo podemos escrever
\frac{s+3}{(s-1)(s-2)}=\frac{A}{s-1}+\frac{B}{s-2}.
Multiplicando ambos os lados por (s-1)(s-2), obtemos
s+3 = A(s-2) + B(s-1).

Passo 3

Agora igualamos coeficientes de s e termo independente em
s+3 = (A+B)\,s + (-2A - B).
Isso gera o sistema
A + B = 1,
-2A - B = 3.
Resolvendo, achamos
A = -4,
B = 5.

Passo 4

Assim
F(s) = -\frac{4}{s-1} + \frac{5}{s-2}.
Usando a transformada inversa \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s-a}\} = e^{at}, temos
f(t) = -4\,e^{1\cdot t} + 5\,e^{2\cdot t} = -4e^{t} + 5e^{2t}.

Resposta

A=-4,\;\;B=5 f(t) = -4e^{t} + 5e^{2t}.

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